【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 系的 單位坐標(biāo)矢量 的關(guān)系滿(mǎn)足： ???????????zzyxyxeeeeeeee??????co ss i ns i nco s ( 1 51) 或 ??????????zzyxeeeeeeee????????co sco ss i nco s ( 1 52) 直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)矢量的關(guān)系滿(mǎn)足： ????????????????????????????co ss i ns i ns i nco sco sco sco ss i ns i nco ss i nyxzyxzyxreeeeeeeeeee ( 1 53) 或 ??????????????????????????????si nc o sc o ssi nc o ssi nsi nsi nc o sc o sc o ssi neeeeeeeeeeerzryrx( 1 54) 1 .4 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 1 .4 .1 方向?qū)?shù) 為了 描述標(biāo)量場(chǎng) 的標(biāo)量沿著各個(gè)方向的變化率 的 不同，需要引入方向?qū)?shù)的概念，標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。 39。MM l?l 圖 方向?qū)?shù) 如圖 所示，標(biāo)量場(chǎng) u 在 M 點(diǎn)處沿 l 方向上的方向?qū)?shù) Mul?? 定義為： lMuMululM???????)()39。(lim0 ( 1 55) 式中 l? 為 M 點(diǎn)與 39。M 點(diǎn)之間的距離。 在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)可表示為： lzzulyyulxxulu????????????????? ( 1 56) 設(shè) l 方向的方向余弦是 ?co s 、 ?c o s 、 ?c o s ，即： ?co s???lx ( 1 57) ?co s???ly ( 1 58) ?c o s???lz ( 1 59) 則可得到在直角坐標(biāo)系中方向?qū)?shù)的計(jì)算公式： ??? c o sc o sc o szuyuxulu??????????? (1 60) 1 . 4 . 2 標(biāo)量 函數(shù) 的 梯度 為了描述標(biāo)量場(chǎng)在哪個(gè)方向變化率最大，需要引入標(biāo)量場(chǎng)的 梯度 的概念。 標(biāo)量場(chǎng) u 在點(diǎn) M 處的梯度是一個(gè)矢量，它的 方向 沿場(chǎng)量 u 變化率最大的方向 ， 大小 等于其 最大的變化率 ，并記為 ug r a d , 即： m a xluug r a dl??? e ( 1 61) 式中， le 是場(chǎng)量 u 變化率最大的方向上的單位矢量。 在直角坐標(biāo)系中， l 方向的單位矢量 le 為： ??? c o sc o sc o szyxleeee ??? ( 1 62) 那么標(biāo)量場(chǎng) u 沿 l 方向的方向?qū)?shù)可以寫(xiě)為 : ( ) ( )( ) ( c o s c o s c o s )c o s( , )x y z x y zx y z x y zllu u x u y u zl x l y l z lu u u x y zx y z l l lu u uax y z??? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?e e e e e ee e e e e eG e G G e ( 1 63) 其中矢量x y zu u ux y z? ? ?? ? ?? ? ?G e e e，它是與方向 l 無(wú)關(guān)的矢量，只有當(dāng)方向 l 與矢量 G 的方向一致時(shí)，上式可取最大值 , 也就是矢量 G 的模 G 。根據(jù)梯度的定義，可得到在直角坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式： zuyuxuug ra dzyx????????? eee ( 1 64) 圓柱坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為： zuuuugr adz????????? eee????? ( 1 65) 球坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為： ??????????????ururruugr adrs i neee ( 1 66) 在矢量分析中，經(jīng)常用到哈密頓算符“ ? ”（讀作 De l ），在直角坐標(biāo)系中有： x y zx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?e e e (1 67) 可見(jiàn)算符“ ? ”具有矢量和微分的雙重性質(zhì)，從而在直角坐標(biāo)系中標(biāo)量場(chǎng)的梯度又可用算符“ ? ”表示為： uuzyxug ra dzyx??????????? )( eee ( 1 68) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度具有如下 性質(zhì) ： （ 1 ）標(biāo)量場(chǎng) u 的梯度是一個(gè) 矢量場(chǎng) ； （ 2 ）在標(biāo)量場(chǎng) )( Mu 中，在給定點(diǎn)沿 任意方向 l 的方向?qū)?shù)等于梯度在 該方向 上的 投影 ； （ 3 ）標(biāo)量場(chǎng) )( Mu 在給定 M 點(diǎn)的梯度 垂直 于過(guò)該點(diǎn)的 等值面 ，且指向 )( Mu 增大 的方向。 梯度運(yùn)算符合以下規(guī)則 ( C 為常數(shù)， u ， v 分別為標(biāo)量場(chǎng)函數(shù) ) ： 0C?? (1 69) uCCu ??? )( (1 70) vuvu ?????? )( (1 71) vuuvuv ????? )( (1 72) 2/)()/( vvuuvvu ????? (1 73) uufuf ???? )()( (1 74) 例 1. 5 ：設(shè)有一點(diǎn)電荷 q 位于球坐標(biāo)系的原點(diǎn)，求該點(diǎn)電荷在球坐標(biāo)中任一點(diǎn) ),( ??rM 處電位的梯度？ 解： 該點(diǎn)電荷在點(diǎn) ),( ??rM 處的電位函數(shù) ),( ??ru 可表示為： rqru04),(???? ?， 式中 q 為點(diǎn)電荷的電量， 0? 為常數(shù)，所以電位函數(shù)只是 r的函數(shù)而與 ? ， ? 無(wú)關(guān)，即有： 0????u，0????u， 從而： rrrqruu ee204 ???????? u?q 圖 點(diǎn)電荷電位的梯度 如 上圖 所示， u?? 正是位于球坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 q在空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，本例題表明，電場(chǎng)中的 電場(chǎng)強(qiáng)度 等于 電位的負(fù)梯度 ，而且電場(chǎng)強(qiáng)度 垂直 于 等位面 ，指向電位 減少 的方向。 1 . 5 矢量場(chǎng)的 通量 和 散度 的概念。 矢量場(chǎng)的通量 在分析矢量場(chǎng)性質(zhì)的時(shí)候，矢量場(chǎng)穿過(guò)曲面的通量是一個(gè)重要的概念。假設(shè) S 為一空間曲面 , dS 為曲面 S上的面元，取一個(gè)與此面元相垂直的單位矢量 ne ，則稱(chēng)矢量 dSd neS ? 為 面元矢量 。 單位矢量 ne 的取法有兩種情形：一種是 dS 為 開(kāi)曲面 上的一個(gè)面元， ne 的 取法要求圍成開(kāi)曲面的邊界走向與 ne 之間滿(mǎn)足 右手螺旋法則 ；另一種是 dS 為 閉合面 上的一個(gè)面元， ne 一般取 外法線(xiàn)方向 。如圖 所示： neFdSs ? 圖 矢量場(chǎng)的通量 在矢量場(chǎng) F 中，任取一個(gè)面元矢量 dS ，矢量 F 與 面元矢量 d S 的 標(biāo)量積 d?FS 定義為矢量 F 穿過(guò) 面元矢量 d S的通量。 對(duì)于空間開(kāi)曲面 S ， 矢量 F 穿過(guò)曲面 S 的通量定義為 : c o snS S Sd d S d S?? ? ? ?? ? ?F S F e F (1 75) 如果曲面 S 是一個(gè)閉合面 , 矢量 F 穿過(guò)閉合曲面 S 的通量定義為： c o snS S Sd d S d S?? ? ? ?? ? ?F S F e F (1 76) 上式中 ? 是矢量 F 和 ne 的夾角， 從通量的定義可見(jiàn)，若矢量場(chǎng) F 與面元矢量 Sd 成 銳角 ，則通過(guò)面積 元 Sd 的通量為正值 ，反之，若成 鈍角 ，則通過(guò)面積 元 Sd 的通量為 負(fù)值 。 式 ( ) 表示的通量則是穿出閉曲面 S 的正通量與進(jìn)入閉曲面 S 的負(fù)通量的代數(shù)和，即穿出曲面 S 的凈通量。矢