【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 等客觀世界的根本規(guī)律。進(jìn)而，若對(duì)極坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系等也按上變值方法的基本思路與方法進(jìn)行適當(dāng)擴(kuò)展，也可獲得相應(yīng)的變值坐標(biāo)系，從而將會(huì)使現(xiàn)代數(shù)學(xué)更能充分反映客觀世界的復(fù)雜性、不均勻性、動(dòng)態(tài)性和多樣性。2 變值函數(shù)要點(diǎn)簡(jiǎn)介為便于區(qū)別和應(yīng)用，這里將箱變坐標(biāo)系中表示變值坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)函數(shù)叫變值函數(shù)，表示基值坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)函數(shù)叫基值函數(shù)，相應(yīng)地可把表示等值坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)函數(shù)叫等值函數(shù)。三種函數(shù)各具優(yōu)勢(shì)并可通過(guò)變值系數(shù)的作用實(shí)現(xiàn)相互變換。其中，等值函數(shù)可視為變值函數(shù)和基值函數(shù)的一種特例（即變值系數(shù)恒為1），因此，后者是對(duì)前者的繼承和擴(kuò)展。通常三種函數(shù)的自變量取值多采用基值坐標(biāo)，其中，等值函數(shù)的基值坐標(biāo)與變值坐標(biāo)完全相同。作為數(shù)學(xué)函數(shù)，其基本問(wèn)題應(yīng)當(dāng)有二，即函數(shù)的求法和算法。這里求法是基礎(chǔ)，算法是關(guān)鍵。由于變值函數(shù)和基值函數(shù)是對(duì)等值函數(shù)的繼承和擴(kuò)展，因此，只要熟悉后者的有關(guān)求法和算法并對(duì)前者的有關(guān)思路和方法有所了解，則對(duì)其掌握和運(yùn)用將并非難事，但應(yīng)注意兩者的異同。由于基值函數(shù)的求法和算法與常規(guī)的等值函數(shù)基本相同，故下面重點(diǎn)說(shuō)明變值函數(shù)。 變值函數(shù)的基本求法正箱坐標(biāo)系和斜箱坐標(biāo)系均可用于求得變值函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，變值函數(shù)的基本求法可有如下三種。（1）直接推導(dǎo)法：本法是指通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)直接求出變值函數(shù)的方法。其基本做法是：首先是通過(guò)改變坐標(biāo)單位使所求函數(shù)自變量的對(duì)應(yīng)范圍或空間內(nèi)的同名坐標(biāo)單位數(shù)各自處處對(duì)應(yīng)相等，相當(dāng)于把密度均勻的基箱體變?yōu)槊芏炔粍虻姆较潴w，并將箱變坐標(biāo)系的變值坐標(biāo)單位數(shù)視為等值坐標(biāo)系的等值坐標(biāo)，然后運(yùn)用常規(guī)數(shù)學(xué)方法（包括現(xiàn)有的各種函數(shù)求法）求之即可。其中，一元時(shí)對(duì)應(yīng)于基箱面，通常只需改變寬距或長(zhǎng)距基本求法單位，有時(shí)需要改變高距單位；二元時(shí)對(duì)應(yīng)于基箱體，通常只需改變寬距和長(zhǎng)距單位，有時(shí)需要改變寬距和高距或長(zhǎng)距和高距單位；三元時(shí)仍對(duì)應(yīng)于與基箱體，需要同時(shí)改變長(zhǎng)距、寬距和高距單位。如前述的二元扭面方程便是將基箱體通過(guò)改變縱、橫坐標(biāo)單位而變?yōu)橄鄳?yīng)方箱體后采用常規(guī)數(shù)學(xué)方法而得。其中，線性扭面方程為四項(xiàng)，由此可知，當(dāng)變質(zhì)系數(shù)一定時(shí)，線性扭面可由四點(diǎn)確定。（2）基值系數(shù)法：本法是由基值函數(shù)與對(duì)應(yīng)變值系數(shù)復(fù)合而得變值函數(shù)的方法。其中，變值系數(shù)通常是在建立坐標(biāo)系時(shí)即已確定（見(jiàn)前述變值系數(shù)的求法）；基值函數(shù)的求法與等值函數(shù)相同，其基本求法是：首先將基值坐標(biāo)視為等值坐標(biāo)，然后運(yùn)用常規(guī)數(shù)學(xué)方法（包括現(xiàn)有的各種數(shù)學(xué)方法）按照等值函數(shù)的相應(yīng)方法求之即可。當(dāng)基值函數(shù)為顯函數(shù)時(shí)，則將其對(duì)應(yīng)的變值系數(shù)與其等式右邊相乘即可（自變量仍為基值變量），此時(shí)，等式左邊的基值變量隨之變?yōu)橥淖冎底兞?，所得函?shù)值對(duì)應(yīng)于變值坐標(biāo)；而隱函數(shù)的具體求法尚待進(jìn)一步探討和驗(yàn)證。當(dāng)變值系數(shù)的確定比較合理時(shí)，其基值函數(shù)通常均較簡(jiǎn)單，這里需要搞清函數(shù)（因變量）與自變量、各變量與變值系數(shù)的相互對(duì)應(yīng)。如前述正箱體的高距函數(shù)也可采用基高或高距變量高距系數(shù)而得，這里的高距和高距變量對(duì)應(yīng)于基值函數(shù)。（3）變換系數(shù)法：本法是指通過(guò)變換坐標(biāo)系數(shù)將原有變值函數(shù)變?yōu)樾碌淖冎岛瘮?shù)的方法。本法還可用于等值函數(shù)與變值函數(shù)、變值函數(shù)與基值函數(shù)、不同的基值函數(shù)之間的相互變換等。當(dāng)變換后的函數(shù)項(xiàng)（因變量）的變值系數(shù)（新變系數(shù)）為1時(shí)，則得到變值函數(shù)（此時(shí)，若坐標(biāo)系隨之而變，則變?yōu)榈戎底鴺?biāo)系和等值函數(shù)）；若函數(shù)項(xiàng)的新變系數(shù)不為1，則得到相應(yīng)變值坐標(biāo)系的基值函數(shù)。在進(jìn)行變換時(shí)，可先求出變換系數(shù)，即原變值系數(shù)（原變系數(shù)）與新變系數(shù)之比，然后將變換系數(shù)作為變值系數(shù)采用基值系數(shù)法便可求出相應(yīng)的變值函數(shù)或基值函數(shù)。本法常用于改變函數(shù)圖象或變換研究層次或方式等，如果變換系數(shù)選擇適當(dāng)（如為原有函數(shù)的整除因式），則可得到較為簡(jiǎn)單的新的基值函數(shù)表達(dá)式，若同時(shí)變換坐標(biāo)系，則可得到較為簡(jiǎn)單的新的函數(shù)圖象。如箱面和箱體的高距變值函數(shù)除以其自身的高距系數(shù)后可得簡(jiǎn)單的基值函數(shù)。在以上三種求法中，直接推導(dǎo)法的實(shí)質(zhì)屬于常規(guī)方法，其它兩種求法為變值函數(shù)所特有，但當(dāng)變值系數(shù)全為1時(shí)則同樣屬于常規(guī)方法。由上述求法可知，隨著變值系數(shù)的不同，同一圖象可有不同函數(shù)，同一函數(shù)也可有不同圖象，從而體現(xiàn)了函數(shù)與圖象的動(dòng)態(tài)對(duì)應(yīng)和因果之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系等。 變值函數(shù)的基本算法由于變值函數(shù)與基值函數(shù)同源共生，而等值函數(shù)只是變值函數(shù)和基值函數(shù)的一種特例，故三種函數(shù)具有本質(zhì)上的同一性。因此，變值函數(shù)的各種基本算法（變值算法）應(yīng)當(dāng)是對(duì)等值函數(shù)各類基本算法（等值算法）的繼承、包容和擴(kuò)展（基值函數(shù)也應(yīng)基本如此）。這些擴(kuò)展算法與等值算法的根本區(qū)別在于變值系數(shù)不再恒為1，其中，尤其是各種異基四則運(yùn)算（基距不同的四則運(yùn)算）和各種積分運(yùn)算等，更是變值算法所特有。在不同函數(shù)之間進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，不僅要考慮對(duì)應(yīng)基距是否相同，還應(yīng)考慮對(duì)應(yīng)變值系數(shù)是否相同。按照基距和變值系數(shù)是否各自對(duì)應(yīng)相同，可將不同變值函數(shù)獨(dú)立分為同基、異基和同系、異系，二者組合可得同基同系、同基異系、異基同系和異基異系四種。因此，在各種變值運(yùn)算中，要始終牢記其對(duì)應(yīng)基距和變值系數(shù)?，F(xiàn)將變值函數(shù)的部分算法作一簡(jiǎn)要說(shuō)明，其中，包含積分運(yùn)算的有關(guān)算法只限于正箱坐標(biāo)系（與斜箱坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的積分運(yùn)算目前尚不成熟）。 變值函數(shù)的基本性質(zhì)與變基運(yùn)算和通基變換（1）變值函數(shù)的基本性質(zhì)：對(duì)某一變值函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果將某一自變量（如X）的取值擴(kuò)大了TX倍（TX≠0）而需要函數(shù)值保持不變時(shí)，則應(yīng)將其對(duì)應(yīng)變量單位（即對(duì)應(yīng)基值單位）縮小TX倍，亦即將基箱體的對(duì)應(yīng)基距數(shù)值（即坐標(biāo)單位數(shù)）擴(kuò)大TX倍；反之依然。因此，在變值函數(shù)中，自變量的取值與箱變坐標(biāo)系的對(duì)應(yīng)基距數(shù)值同時(shí)擴(kuò)大或縮小非零倍數(shù)，其值不變，或簡(jiǎn)述為：變值函數(shù)的自變量與基距同時(shí)擴(kuò)大或縮小非零倍數(shù)，其值不變，這便是變值函數(shù)的基本性質(zhì)。如H=A+BX=A+BX(TX/TX)=A+B/X/，其中，X/=TXX，B/=B/TX，B/和B中包含了坐標(biāo)系數(shù)。此時(shí)，自變量取值和基距數(shù)值同時(shí)擴(kuò)大了TX 倍，但變值系數(shù)縮小了TX；另當(dāng)X/=X/TX，B/=TXB時(shí)，則自變量取值和基距數(shù)值同時(shí)縮小了TX 倍，但變值系數(shù)擴(kuò)大了TX。上述性質(zhì)與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)相類似，其中的自變量和基距相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子和分母。據(jù)此性質(zhì)便可對(duì)變值函數(shù)適當(dāng)進(jìn)行恒等變換（此即變基運(yùn)算），從而使其某些異基運(yùn)算得以實(shí)現(xiàn)。但應(yīng)注意，這里的自變量和基距的取值均為坐標(biāo)單位數(shù)，在數(shù)值上等于基值坐標(biāo)，其擴(kuò)大倍數(shù)與基值單位和變值系數(shù)的擴(kuò)大倍數(shù)互為倒數(shù)。（2）變基運(yùn)算：變基運(yùn)算是指改變基值單位或基箱體的基距時(shí)對(duì)變值函數(shù)進(jìn)行恒等變換的一種運(yùn)算。由變值函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當(dāng)自變量取值和基距數(shù)值同時(shí)擴(kuò)大或縮小TX 倍時(shí)其值不變。這里的TX可叫變基系數(shù)，通常為一非0常數(shù)，據(jù)此便可進(jìn)行變基運(yùn)算。在變基運(yùn)算時(shí)，既可采用同時(shí)擴(kuò)大，也可采用同時(shí)縮小，二者的變基系數(shù)互為倒數(shù)。若同時(shí)擴(kuò)大，則變基系數(shù)=新基距/原基距=原基值單位/新基值單位=原變值系數(shù)/新變值系數(shù)；若同時(shí)縮小，則變基系數(shù)為同時(shí)擴(kuò)大時(shí)的倒數(shù)（常用于通基變換）。變基運(yùn)算常采用同時(shí)擴(kuò)大（也可采用同時(shí)縮?。?，現(xiàn)以一元和二元為例簡(jiǎn)述之。一元變基運(yùn)算：設(shè)原變值函數(shù)為H=H0(X0)，X0為原自變量，X0的基距為L(zhǎng)X0，X0的變值系數(shù)為KX0；新變值函數(shù)為H=H(X)，X為新自變量，其基距為L(zhǎng)X，其變值系數(shù)為KX。則變基系數(shù)等于新基距與原基距之比，即：TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX，亦即X=TXX0或X0=X/TX，KX=KX0/TX或KX0=TXKX。進(jìn)而可得一元變基函數(shù)為：H=H0(X0)=H0(X/TX)=H(X)或H=H(X)=H(TXX0)=H0(X0), （3）上式中的H0(X0)與H(X)互為一元變基函數(shù)，當(dāng)以X0和X=TXX0分別代入H=H0(X0)和H=H(X)式時(shí)可得到相同的H值。二元變基運(yùn)算：設(shè)原變值函數(shù)為：H=H0(X0,Y0)，X0、Y0為原自變量，X0、Y0的基距為L(zhǎng)X0、LY0，X0、Y0的變值系數(shù)為KX0、KY，；新變值函數(shù)為H=H(X,Y)，X、Y為新自變量，X、Y的基距為L(zhǎng)X、LY，X、Y的變值系數(shù)為KX、KY。此時(shí)，其變基系數(shù)等于新基距與原基距之比，即TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX、TY=LY/LY0=Y/Y0 TY=KY0/KY，亦即X=TXX0或X0=X/TX、KX=KX0/TX或KX0=TXKX，Y=TYY0或Y0=Y/TY、KY=KY0/TY或KY0=TYKY。進(jìn)而可得二元變基函數(shù)為：H=H0(X0,Y0)=H0(X/TX,X/TX)=H(X,Y)或H=H(X,Y)=H(TXX0,TYY0)=H0(X0,X0), （4）上式中的H0(X0,Y0)與H(X,Y)互為二元變基函數(shù)。注意通基后變值系數(shù)的求法與一元的區(qū)別即TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX、TY=LY/LY0=Y/Y0 TY=KY0/KY，亦即X=TXX0或X0=X/TX、KX=KX0/TX或KX0=TXKX，Y=TYY0或Y0=Y/TY、KY=KY0/TY或KY0=TYKY。進(jìn)而可得二元變基函數(shù)為：另當(dāng)變值函數(shù)為多元時(shí)，其變基運(yùn)算可仿二元變基運(yùn)算進(jìn)行。（2）通基變換：上述變基運(yùn)算適用于單個(gè)變值函數(shù)，當(dāng)為多個(gè)不同基距的變值函數(shù)（即異基函數(shù)）時(shí)，若要對(duì)其同名自變量在各自基距范圍內(nèi)進(jìn)行同值同步運(yùn)算（如對(duì)應(yīng)于有限空間的加減或合并運(yùn)算等），則應(yīng)使之變?yōu)橄嗤嗟淖冎岛瘮?shù)（即同基函數(shù)），這便是通基變換。否則將無(wú)法對(duì)異基函數(shù)的同一自變量進(jìn)行同值同步運(yùn)算。通基變換常采用自變量與其基距同時(shí)縮小之法（也可采用同時(shí)擴(kuò)大之法）。在通基變換時(shí)，需要已知原基距和通基后的統(tǒng)一基距。其中，統(tǒng)一基距常可根據(jù)需要