【正文】 箱變坐標(biāo)系與變值函數(shù)——初識一種新型數(shù)學(xué)思路與方法(曹玉聘, 陳戰(zhàn)杰, 黃玉義等)摘 要 箱變坐標(biāo)系和變值函數(shù)的根本特點是其坐標(biāo)單位處處可變，坐標(biāo)系數(shù)或變值系數(shù)可為首項為一任意非0常數(shù)的連續(xù)型初等函數(shù)（不再只是常數(shù)1）。本法（還可再做擴(kuò)展）不僅從根本上解決了諸如扭面方程、非線性不均勻動態(tài)空間、函數(shù)與圖象的動態(tài)對應(yīng)等各類疑難問題，更從根本上擴(kuò)充了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，其推廣應(yīng)用將會引起現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的某些重大突破或變革。本文概略介紹了本法的基本思路及其部分求法和算法。關(guān)鍵詞 扭面方程；箱變坐標(biāo)系；變值系數(shù)；變值函數(shù)；變值運算。了解本法，各種扭面類問題和非線性不均勻扭曲動態(tài)空間等疑難問題的精確表達(dá)和有關(guān)精確快捷定位運算將不再疑難！引 言在長期的礦產(chǎn)勘查和儲量計算實踐中，為解決各類扭面問題的精確表達(dá)和有關(guān)精確運算，筆者探求了箱變坐標(biāo)系、變值函數(shù)等新型數(shù)學(xué)方法（可叫變值方法）。雖然這一方法還比較初級和原始，但卻揭示了某種帶有根本性的數(shù)學(xué)規(guī)律，不僅解決了目前難以解決的各種扭面問題、非線性不均勻空間、函數(shù)與圖象的動態(tài)對應(yīng)和與之有關(guān)的各類數(shù)學(xué)難題，并從根本上擴(kuò)充了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，其推廣應(yīng)用將會引起現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的某些重大突破或變革。為便于交流和節(jié)約篇幅，現(xiàn)將其基本思路和方法略述于后，以示概貌。其中，由于某些表述常常超越傳統(tǒng)范疇，故在不得已時采用了一些新術(shù)語，望予諒解、指正。 H H12 H11 M1 O LX1 XH21 M2 H22 LY1 (LX2,LY2) Y 圖1 線性變化儲量塊段箱變坐標(biāo)系要點簡介要了解箱變坐標(biāo)系應(yīng)首先了解扭面方程和正箱體。2．扭面和扭面方程初識所謂扭面可由一條母線沿著兩條異面導(dǎo)線適當(dāng)移動或伴有某種變化而成，因其兩條異面導(dǎo)線常可由某種常規(guī)的同面導(dǎo)線經(jīng)適當(dāng)扭動而成而故名，其扭動角度可叫扭面角或扭角。當(dāng)導(dǎo)線和母線均為直線時則為線性扭面(如圖1中的H11H12H21H22面),否則，既可為非線性扭面也可為線性扭面（見正箱體）。常規(guī)的平面和曲面只是扭面角為0的一種特例。為便于討論，可把表示扭面的函數(shù)叫做扭面方程。目前，各種扭面方程的精確表達(dá)和有關(guān)運算尚屬空白。但問題并非絕對，只要對常規(guī)數(shù)學(xué)思路與方法有所擴(kuò)展或突破，此類問題便不難解決?，F(xiàn)將扭面方程的基本求法簡述如下。（1）線性扭面方程的基本求法：如圖1所示，為一投影法的簡單儲量塊段，其中，H1H1H2H22表示正厚度（對應(yīng)于四個平行工程），MM2兩面相互平行（LY1=LY2）但不等寬（LX1≠LX2），頂面（H11H12H21H22）為一簡單線性扭面。試求其對應(yīng)方程。當(dāng)MM2兩面平行等寬時（圖中虛線），則兩面上的對應(yīng)正厚度算式為：HX1=HX1(X)=H11+(H12H11)X/LX1=AH1+BHX1X，式中，AH1=H11，BHX1=(H12H11)/LX1，HX2=HX2(X)=H21+(H22H21)X/LX2=AH2+BHX2X，式中，AH2=H21，BHX2=(H22H21)/LX1。由上述四式可得MM2兩面間的正厚度算式為：H(X,Y)=HX1+(HX2HX1)Y/LY1=AH+BHxX+BHyY+CHxyXY， （1）式中，AH =H11, BHx=BHX1=(H12H11)/LX1, BHy=(H21H11)/LY1, CHxy=(H22H21H12+H11)/LX1/LY1。式（1）為一線性扭面方程或叫一次函數(shù)。這里的一次是指整冪多項式中單個自變量最高為一次。對各種函數(shù)來說，當(dāng)只考慮一個自變量時可稱之為偏函數(shù)（一元函數(shù)可視為一種特殊的偏函數(shù)）。因此，線性扭面方程應(yīng)是偏函數(shù)最高為一次的整冪多項式。當(dāng)MM2兩面寬度不等或不平行或既不平行也不等寬時，則該扭面方程將難以采用常規(guī)方法直接求出?？疾焐鲜鰞擅嫫叫械葘挄r的求法可知：在笛卡兒坐標(biāo)系中，兩面間的縱、橫坐標(biāo)單位數(shù)各自處處對應(yīng)相等，式中自變量的取值實際上均為同名坐標(biāo)單位數(shù)。由此便可推知，若能通過適當(dāng)變換使兩面平行等寬或兩面間X、Y的坐標(biāo)單位數(shù)各自處處對應(yīng)相等（如均為LXLY1），便可仿照上述的常規(guī)方法（采用坐標(biāo)單位數(shù)）直接進(jìn)行精確表達(dá)，所得扭面方程仍如（1）式所示。這里的關(guān)鍵是如何進(jìn)行上述變換。一般來說，實現(xiàn)上述變換可有兩種方法：一是改變MM2兩面間的空間密度，使之變?yōu)榈乳L等寬的不等密空間；二是改變坐標(biāo)單位使兩面間的縱、橫坐標(biāo)單位數(shù)各自處處對應(yīng)相等。以上兩種變換的實質(zhì)和結(jié)果完全等同，其中，后者更便于進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。其基本方法是：先設(shè)定某一基準(zhǔn)坐標(biāo)單位，然后將其附加一個非0系數(shù)（可叫坐標(biāo)系數(shù)）即可。在上述變換中，采用的基準(zhǔn)單位為坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)單位，坐標(biāo)系數(shù)為首項為1的某一初等函數(shù)。以上便是解決扭面問題的最初思路和方法。 H H12 H11 M1 O LX1 XH21 M2 H22 LY1 (LX2,LY2) Y 圖2 非線性變化儲量塊段（2）非線性扭面方程的基本求法：此類方程也可按照上述思路與方法求之，但需先求出縱、橫兩個單向非線性變化之和，然后減去一個雙向線性變化。如圖2所示，H11H12H21H22為一非線性扭面，其基本求法是：先將MM2兩面間的縱、橫坐標(biāo)單位數(shù)變?yōu)楦髯蕴幪帉?yīng)相等，并求出四個側(cè)面上的正厚度函數(shù)，然后按縱、橫兩個方向求出側(cè)面間的兩個非線性函數(shù)和一個線性函數(shù)，進(jìn)而便可求得該扭面方程。設(shè)兩個橫側(cè)面和兩個縱側(cè)面上的正厚度函數(shù)分別為：HX1=HX1(X)、HX2=HX2(X)和HY1=HY1(X)、HY2=HY2(X)，則當(dāng)X方向為非線性、Y方向為線性時：HX2Y=HX2Y(X,Y)=HX1+(HX2HX1)Y/LY1，當(dāng)Y方向為非線性、X方向為線性時：HY2X=HY2X(X,Y)=HY1+(HY2HY1)X/LX1，當(dāng)X、Y方向均為線性變化時同前述式(1)，用HXY或HXY(X,Y)表示。進(jìn)而可得一般非線性扭面方程為：H(X,Y)=HX2Y+HY2XHXY。當(dāng)各側(cè)面上的正厚度變化曲線均為二次拋物線時，可得其對應(yīng)函數(shù)為：HX1(X)=AHX1+BHX1X+CHX1XHX2(X)=AHX2+BHX2KX2X+CHX2KX22X2和HY1(Y)=AHY1+BHY1Y+CHX1YHY2(Y)=AHY2+BHY2KY2Y+CHY2KY22Y2，其中，KX2=LX2/LX1,KY2=LY2/LY1。進(jìn)而可得二次扭面方程為：H(X,Y)=AH+BHxX+BHyY+CHxxX2+CHxyXY+CHyyY2+DHxxyX2Y+DHxyyXY2， （2）式中，AH=H11，BHx=BHX1，BHy=BHY1，CHxx=CHX1，CHxy=(BHX2KX2BHX1)/LY1+(BHY2KY2BHY1)/LX1(H22H21H12+H11)/LX1/LY1，CHyy=CHY1，DHxxy=(CHX2KX22CHX1)/LY1，DHxyy=(CHY2KY22CHY1)/LX1。依據(jù)上述思路和方法對笛卡兒坐標(biāo)系和常規(guī)函數(shù)及其有關(guān)算法進(jìn)行適當(dāng)擴(kuò)展便構(gòu)成了箱變坐標(biāo)系和變值函數(shù)等這一新型數(shù)學(xué)思路與方法。 1 4 1 4 5 2 5 2 2/ 3(3/) 2/ 3(3/) 6 7 8 6 7 8 J 6/ 7/ (a) J 6/ 7/ (b)圖3 正箱體概念示意圖(a)線性直近箱體 (b)線性直次箱體、正箱體的數(shù)學(xué)約定所謂正箱體是指有四個側(cè)面同垂（或正交）于某一平面的凸棱六面體或六面凸棱體（如圖3）。所謂凸棱體是指各相鄰側(cè)面所構(gòu)成的內(nèi)角均不大于π值的空間體。此外，除正箱體以外的凸棱六面體叫斜箱體。正箱體和斜箱體統(tǒng)稱為似箱體。由于斜箱體的有關(guān)探索尚少，故下面重點說明正箱體。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)圖4 正箱體基本類型示意圖(a)線性直近箱體 (b)線性曲近箱體 (c)非線性直近箱體 (d)非線性曲近箱體(e)線性直次箱體 (f)線性曲次箱體 (g)非線性直次箱體 (h)非線性曲次箱體正箱體的四個側(cè)面可兩兩稱為橫側(cè)面和縱側(cè)面，剩余兩面叫頂?shù)酌?。四個側(cè)面均可為平面或直線型曲面（如柱狀拋物面）；頂?shù)酌婢蔀槠矫?、曲面或扭面；與四個側(cè)面同垂的平面叫箱基面或基面（J面），四個側(cè)面在