數(shù)論第5講位值、進(jìn)制與完全平方數(shù)教師版(編輯修改稿)
2025-09-19 02:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ④ ________；⑤ 若，則________．【解析】 ① 對于這種進(jìn)位制計算，一般先將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的十進(jìn)制，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的進(jìn)制： ；② 可轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制來計算：；如果對進(jìn)制的知識較熟悉，可直接在二進(jìn)制下對進(jìn)行除法計算，只是每次借位都是2，可得；③ 本題涉及到3個不同的進(jìn)位制，應(yīng)統(tǒng)一到一個進(jìn)制下．統(tǒng)一到十進(jìn)制比較適宜：；④ 十進(jìn)制中，兩個數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補(bǔ)數(shù)”，湊出“互補(bǔ)數(shù)”的這種方法叫“湊整法”，在進(jìn)制中也有“湊整法”，要湊的就是整．原式；⑤若，則，經(jīng)試驗可得．【例 10】 在幾進(jìn)制中有？【解析】 利用尾數(shù)分析來解決這個問題：由于，由于式中為100，尾數(shù)為0，也就是說已經(jīng)將12全部進(jìn)到上一位．所以說進(jìn)位制為12的約數(shù)，也就是12，6，4，3，2中的一個．但是式子中出現(xiàn)了4，所以要比4大，不可能是4，3，2進(jìn)制．另外，由于，因為，也就是說不到10就已經(jīng)進(jìn)位，才能是100，于是知道，那么不能是12．所以，只能是6．【鞏固】 在幾進(jìn)制中有？【解析】 注意，因為，所以一定是不到10就已經(jīng)進(jìn)位，才能得到16324，所以．再注意尾數(shù)分析，而16324的末位為4，于是進(jìn)到上一位．所以說進(jìn)位制為21的約數(shù)，又小于10，也就是可能為7或3．因為出現(xiàn)了6，所以只能是7．【例 11】 在6進(jìn)制中有三位數(shù)，化為9進(jìn)制為，求這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少? 【解析】 (abc)6 =a62＋b6+c=36a+6b+c；(cba)9=c92+b9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因為35a是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù)．所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①當(dāng)b=0，則35a=80c；則7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7。但是在6,9進(jìn)制，不可以有一個數(shù)字為16．②當(dāng)b=5，則35a=35+80c；則7a=3+16c；mod 7后，3+2c≡0。所以c=2或者2+7k(k為整數(shù))．因為有6進(jìn)制，所以不可能有9或者9以上的數(shù)，于是c=2；35a=15+802，a=5。所以(abc)6 =(552)6 =562+56+2=212。這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為212?！纠?12】 (2001年人大附中分班考試題)在8進(jìn)制中，一個多位數(shù)的數(shù)字和為十進(jìn)制中的68，求除以7的余數(shù)為多少？【解析】 類似于十進(jìn)制中的“棄九法”，8進(jìn)制中也有“棄7法”，也就是說8進(jìn)制中一個數(shù)除以7的余數(shù)等于這個數(shù)的各位數(shù)字之和除以7的余數(shù)．本題中，這個數(shù)的各位數(shù)字之和在十進(jìn)制中為68，而68除以7的余數(shù)為5，所以這個數(shù)除以7的余數(shù)也為5．板塊三 完全平方數(shù)【例 13】 從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少
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