從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維(編輯修改稿)
2025-09-18 08:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 點(diǎn)出它們與等量公理、移項(xiàng)法則這兩種正規(guī)方法的差異。
（4） 在面對(duì)生活中的數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生常需學(xué)習(xí)使用具程序性的逆向思維來解算術(shù)問題，但若要用代數(shù)方法解題卻需要順著問題情境。例如，在算術(shù)上，解「一個(gè)數(shù)的2倍加4是32，試求某數(shù)？」時(shí)，算法為：加4後得到32，所以減4，得到28，而28是某數(shù)2倍後的值，所以原來的數(shù)是28除2，於是答案是14。此時(shí)，所做的運(yùn)算有「減4」和「除2」，這些運(yùn)算是由「2倍」和「加4」的逆向而來。在代數(shù)上，解同一題時(shí)作法為：設(shè)某數(shù)為x，則2x+4=32，這時(shí)為了列出這個(gè)方程式，學(xué)生所做的運(yùn)算是「乘2」，「加4」，恰好與他們?cè)谒阈g(shù)上的運(yùn)算相反。所以，對(duì)學(xué)生而言，他們需要用一種與原先思維逆向的思考方式才能列出這個(gè)式子，而容易造成學(xué)生的混淆。算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡絕非是一蹴可及的，無法在缺乏經(jīng)驗(yàn)下直接灌輸，必須經(jīng)過長(zhǎng)適當(dāng)?shù)摹⒍嘣?、循環(huán)的學(xué)習(xí)過程，才能順利的跨越這一道鴻溝。這個(gè)過渡對(duì)學(xué)生所產(chǎn)生的困難，或許可以回溯一個(gè)數(shù)學(xué)史的案例。中國(guó)歷代，數(shù)學(xué)最好的一位帝王應(yīng)屬清康熙皇帝，從康熙所實(shí)質(zhì)編纂的《數(shù)理精蘊(yùn)》來看，其數(shù)學(xué)成就十足是一位業(yè)餘數(shù)學(xué)家，然而當(dāng)他面對(duì)「符號(hào)代數(shù)」的《阿爾熱巴拉新法》（洪萬生，1991）時(shí)，他的反應(yīng)卻是： 「......朕自起身以來，每日同阿哥等察阿爾熱巴拉新法，最難明白，他說比舊法易，看來比舊法難，錯(cuò)處亦甚多，......，還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無數(shù)目，即乘出來亦不知多少，看起來想是此人算法平平爾。......」這裡的「新法」指的是Francois Viete(15401603)創(chuàng)立的「符號(hào)法則」，即以「通用記號(hào)」取代數(shù)目字樣，並對(duì)之作加減乘除、平方立方等操作（洪萬生，1991），說穿了就是現(xiàn)在國(guó)中所學(xué)的代數(shù)符號(hào)。這種思維連數(shù)學(xué)那麼好的人都加以排斥（從《數(shù)理精蘊(yùn)》內(nèi)容看來，康熙至少熟稔比例、借根方、對(duì)數(shù)、幾何原本、九章算術(shù)等內(nèi)容），遑論一般的國(guó)中生了。三、從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡從數(shù)學(xué)史提供的例子，以及前兩節(jié)所述兩種思維的幾項(xiàng)差異，不難得知要從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維，在教材的安排上至少必須注重代數(shù)思維的符號(hào)化、一般化（抽象化）與結(jié)構(gòu)化三個(gè)特徵。（1） 從具體的數(shù)字到抽象的代數(shù)符號(hào)數(shù)學(xué)算式是數(shù)學(xué)溝通及思考最重要的媒介，而符號(hào)表徵式的理解與使用更是代數(shù)的學(xué)習(xí)不可或缺的工具，因此要過渡到代數(shù)思維，首要進(jìn)行的便是符號(hào)的理解與使用，此處的代數(shù)符號(hào)包含＝、+、…、□、甲、乙、x、y、…等等。從字面上來看，「代數(shù)」帶有「以符號(hào)代表數(shù)」的意味，然則教學(xué)上所要關(guān)心的是：學(xué)生為何需要有運(yùn)用文字符號(hào)來代替數(shù)字的思維？這個(gè)問題的答案或許得從「algebra」這個(gè)字的本意著手。這個(gè)字的前身「Aljabr」出現(xiàn)在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家Khw226。rizmi（阿爾花拉子米）寫的書籍中，其本義為「還原或?qū)ο沟目茖W(xué)，由此可知，在代數(shù)發(fā)展之初，以符號(hào)代表數(shù)（待解的已定數(shù)）只是一個(gè)手段，主要的還是藉由對(duì)消來達(dá)到還原「符號(hào)所代之?dāng)?shù)」的目的。這種將待求之?dāng)?shù)以代數(shù)（文字）符號(hào)「暫表」之，至少會(huì)引出四個(gè)不同的功用：（一）改變解題思維動(dòng)向。亦即能對(duì)「待解的已定數(shù)」作運(yùn)算： 例：「某數(shù)加5得到8，求該數(shù)?！挂运阈g(shù)思維的方法求解時(shí)，無論解題思維是「因?yàn)槟硵?shù)加5得到8，所以某數(shù)是…」或「什麼數(shù)加5得到8？ 3加5是8，所以某數(shù)是…」，都是以「某數(shù)」為解題焦點(diǎn)，所有的運(yùn)作只能以它為中心。而當(dāng)它被文字符號(hào)暫代時(shí)（如：x+5＝8），焦點(diǎn)已經(jīng)轉(zhuǎn)移到這個(gè)方程式及其解法了。 （二）讓解法跳脫題目所給的情境或數(shù)字，而聚焦在一般性的解題方法： 這個(gè)功用對(duì)代數(shù)的一般性（抽象性）與結(jié)構(gòu)性有直接的影響，因?yàn)楫?dāng)解題不會(huì)因?yàn)轭}目所給的數(shù)字不同而改變作法，其實(shí)已經(jīng)在建立代數(shù)的一般性與結(jié)構(gòu)性了。（三）能保留對(duì)運(yùn)算的程序或結(jié)構(gòu)： 例：「邊長(zhǎng)為2的正方形，得到其面積為4」。但是得出4之後，就無法得知4究竟是22+2，還是其他方式而來。而符號(hào)的一個(gè)功用就是能保留這些程序或結(jié)構(gòu)，這尤其在多項(xiàng)式、函數(shù)、乘法公式、代數(shù)論證…上，程序或結(jié)構(gòu)的保留對(duì)概念的形式化有不可或缺的地位。（四）擴(kuò)展了運(yùn)算的客體範(fàn)疇：學(xué)生的運(yùn)算客體由原本的數(shù)字，擴(kuò)充到代數(shù)符號(hào)，以及符號(hào)所表徵的概念，如進(jìn)行函數(shù)、多項(xiàng)式等之運(yùn)算。儘管對(duì)這四個(gè)功能的理解有助於學(xué)生進(jìn)入代數(shù)思維，從另一個(gè)角度來看，這也正是學(xué)生要跨入代數(shù)思維所要克服的關(guān)卡。隨著代數(shù)的發(fā)展，文字符號(hào)的意義為更為豐富。K252。chemann(1981)將學(xué)生對(duì)文字符號(hào)的理解與使用分成不盡相同的六類，並進(jìn)一步的將學(xué)生對(duì)文字符號(hào)的解釋分成四個(gè)認(rèn)知層次：（a）層次一：學(xué)生能處理文字符號(hào)的求值（可用試誤或具體的方法，無須具備解方程式的能力）、忽略文字符號(hào)，或?qū)⑽淖址?hào)當(dāng)成物件的簡(jiǎn)易文字符號(hào)問題。（b）層次二：能作較為複雜文字符號(hào)問題，但無法一貫處理特定未知數(shù)、一般數(shù)、變數(shù)的問題。（c）層次三：能將文字符號(hào)視為特定未知數(shù)、一般數(shù)或變數(shù)，但僅限於結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的問題。（d）層次四：能將文
黨政相關(guān)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1