[考研數(shù)學(xué)]循環(huán)小數(shù)的幾個(gè)猜想的證明及推廣(編輯修改稿)
2024-09-17 16:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 最小正整數(shù)。即p小數(shù)（素?cái)?shù), ）的長(zhǎng)度k只依賴于p，而與q無(wú)關(guān)。從而我們可以確認(rèn)猜想2是正確的， 猜想1的證明：p小數(shù)的長(zhǎng)度是滿足的最小正整數(shù)k， 素?cái)?shù)，從而有：（p, 10）=1, 由費(fèi)爾馬定理，我們有，p與10互素。由帶余除法，存在非負(fù)整數(shù)m和r ，使得，所以，由，有，即，由k的最小性得r=0，從而得到k是p1的因數(shù)。猜想3的證明首先證明：（素?cái)?shù), ）是一個(gè)p小數(shù)，則也是一個(gè)p小數(shù)。設(shè)（素?cái)?shù), ）是一個(gè)p小數(shù)，則=，等式兩邊乘以10，可推出=所以=，故有，即。又(p, q)=1,且，即有（p, 10）=1, 從而有；，所以 ，從而有，故，是一個(gè)p 小數(shù)。若（素?cái)?shù), ）是一個(gè)p小數(shù)，我們反復(fù)應(yīng)用上述結(jié)論，可以得到，……，均為p小數(shù)，我們實(shí)際上已證明了猜想3。2 猜想的推廣歐拉定理：m1, (a, m)=1,則，其中表示小于m且與m互素的自然數(shù)個(gè)數(shù)。既約真分?jǐn)?shù)（，當(dāng)時(shí)可化為循環(huán)小數(shù)，最短循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)形式我們將之稱為b小數(shù),
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