【文章內(nèi)容簡介】 ③； ④. ⑤故 ；.所以此薄片的質(zhì)心為. .【證明】設(shè)圓錐體為.　　　　　　　　　　　??；　　　　　　　　　　　　①　　　　　　　　　　　?。弧　　　　　　　　　　　、凇　　　　　　　　　　　　　?　　　　　　　　　　　　 ③因?yàn)殛P(guān)于面對稱，因此顯然；同理，.所以，.【切片法】　　　 . ④又 .故 .　 ⑤.所以薄片的質(zhì)心為，恰位于圓錐體的質(zhì)心在從底到頂點(diǎn)的四分之一處..　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　，求指定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.（1），求；【解】令則所以 .（2），求和.【解】； .，所圍成的密度均勻（）的立體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.【解】由公式 【切片法】 ..（1）球面包含在園柱面內(nèi)的部分；【解】設(shè)，故 .由對稱性球面含在圓柱面內(nèi)的部分面積【極坐標(biāo)】 .（2）平面在圓柱面內(nèi)的部分；【解】由，故 .在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域..（3）圓錐面被圓柱面截下的部分；【解】. 由曲面方程，得 ，所以， .因此 （4）圓錐面夾在平面和之間的部分.【解】. 由曲面方程，得 ，所以， .因此 .【解】由對稱性知，只須求出在第一卦限的且位于坐標(biāo)面上方的那一小曲面塊的表面積，.將的方程改寫為. .故的面積是 .所以，的表面積..【解】拋物面和圓錐面的交線為 聯(lián)立消去，得在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.記的屬于圓錐面的那部分表面為，則. .所以，的面積是；又記的屬于拋物面的那部分表面為，則. .所以，的面積是【極坐標(biāo)】 .所以， 的表面積為 .，當(dāng)取何值時(shí)，球面在定球面內(nèi)部的那部分面積最大？【解】設(shè)球面的方程為.兩球的交線為因此，在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.由，得 則在定球內(nèi)的那一部分的面積為 【極坐標(biāo)】 .令 ，解得 .又因 ，所以當(dāng)時(shí)，在定球面內(nèi)部的那部分面積最大..【解】聯(lián)立消去，得向面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域：　　　　　　　.所求立體的體積為令則所以　　　　　　　　　　又　　　　.所以，　　，求其面積.【解】：　　　面積　　　..（1）園柱面夾在和之間的部分；【解法一】記圓柱面位于第一、四卦限那部分曲面塊為，并改記，向面上的投影區(qū)域?yàn)?所以，所求面積為　　　　　　　.　【解法二】其實(shí)此題用中學(xué)方法立即可得答案為.（2）拋物面被錐面截下的帽狀部分.【解】聯(lián)立　消，得在面上投影區(qū)域?yàn)?.所以，所求面積為　　　【極坐標(biāo)】　　　　　　　　.，的體積.【解】注意到，即表一張橢球面；而，面之外，橢球面之內(nèi)的那部分立體.聯(lián)立　，消，得在面上投影區(qū)域?yàn)?所以.作變換 則記　　則　　　　　　　　　　　　　　.【注意】此題答案與書后不一致.　　　，半徑為，現(xiàn)靠圓形平面的一旁拼接一個(gè)半徑與球體的半徑相同的均勻圓柱體，并且使拼接后的整個(gè)立體質(zhì)心位于球心，問圓柱體高應(yīng)為多少？【解】根據(jù)題意知可設(shè)半球面的方程為，.　　　　　　　　　　　　　　??；　　　　　　　　　　　　　①　　　　　　　　　　　　；　　　　　　　　　　　　　②　　　　　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　　　?、垡?yàn)殛P(guān)于面對稱，因此顯然；同理，.所以，..【其中為半球體，為圓柱體.　　　【切片法】　　　　.　　　　　　　　　　　　　　?、堋　　　厩衅ā俊　　　?】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤故　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、抻散奘街?，要使的質(zhì)心在原點(diǎn)，只須.　　　　（一）第一型曲線積分 （1）幾點(diǎn)注意：（i）在定義中，中不是獨(dú)立的，共同受的方程的約束，即：,，這點(diǎn)從第一型曲線積分的記號上也可以猜出.（ ii）.（iii）如果是分段光滑的：，則.（iv）如果是封閉曲線，特記為.（v）之長度.（vi）的物理意義：把看成線密度時(shí)曲線型構(gòu)件的質(zhì)量.（vii）的幾何意義：當(dāng)時(shí)表示以為底、以軸為母線的曲頂柱面的面積.（viii）推廣；空間曲線上的第一型曲線積分. （2）第一型曲線積分的計(jì)算方法：設(shè)，在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則 注意：定限的原則是下限必須小于上限.（1），其中；【解】,故.（2），為圓周；【解】 .因?yàn)?，所以【在任何一個(gè)周期上的積分都相等】 .【解法二】化為極坐標(biāo)表示：則 所以， (3), 其中L為由直線y=x及拋物線y=x2所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界。 【解】 L1: y=x2(0163。x163。1), L2: y=x(0163。x163。1) . . （4）求，其中 【解】 所以（令） （令） （5）, 其中L為內(nèi)擺線. 【解】L的參數(shù)方程為x=acos3t, y=asin3t(0163。t163。2p). x162。(t)=3acos2t(sin t), y162。(t)=3asin2tcos ； , ；在L上，所以有 .（6）計(jì)算，【解】 將化為極坐標(biāo)形式，令 ，則的方程化為（雙紐線）.由于積分曲線關(guān)于軸、軸均對稱，且被積函數(shù)關(guān)于或均為偶函數(shù)， ，由得從而 ，其密度為. 求它的總質(zhì)量.【解】 引入橢圓的參數(shù)方程，則總質(zhì)量[令][令] .（1，1，1）到點(diǎn)B（2，2，2）的直線段.【解】直線的參數(shù)方程為：， 所以，.，而函數(shù)在包含的某個(gè)區(qū)域內(nèi)連續(xù). 證明：【證明】 由第一型曲線積分的定義 故 ，其中L：.【解】由對稱性.解：由對稱性其中，.【解】（微元法）看成圓柱面，面積為：.其中， 為點(diǎn)到直線的距離.所以， .（二）第二型曲線積分（1）幾點(diǎn)注意（i）注意這里的積分曲線弧是講究方向的?。╥i）中不是獨(dú)立的，共同受的方程的約束，即：.，這點(diǎn)從第二型曲線積分的記號上也可以猜出.（iii）規(guī)定（ iv）.（v）如果是分段光滑的：，則.（vi）如果是封閉曲線，特記為.（vii）的物理意義：質(zhì)點(diǎn)在變力作用下沿有向曲線弧移動(dòng)過程中，力所做的功.（viii）無幾何意義，不可用對稱性?。?）第二型曲線積分的計(jì)算方法設(shè)曲線的參數(shù)方程為并設(shè)時(shí)對應(yīng)于曲線的起點(diǎn)；時(shí)對應(yīng)于曲線的終點(diǎn)， （1） （2） （3）注意：以上的公式（1）—（3）中所有的下限都未必小于上限！，曲線的方向與參數(shù)增加方向：（1），其中為拋物線.【解】 .（2），其中為折線.【解】 ，則 .(3), 其中L為圓周x2+y2=a2(按順時(shí)針方向繞行)。 【解】 圓周的參數(shù)方程為: x=acos t, y=asin t, t從2p變到0, 所以 . （4），其中為曲線.【解】 .. 其中（1）為從點(diǎn)點(diǎn)的直線段；（2）為逆時(shí)針方向的圓周.【解】 （1）取為參數(shù)，注意，則.（2） 引入曲線的參數(shù)方程，即 則 .例3. 求在力作用下, 質(zhì)點(diǎn)分別沿下列路徑所做的功：(1)直線y=2x, z=2x由點(diǎn)(0, 0, 0)到點(diǎn)(3, 6, 6)； (2)圓周x2+y2=4, z=0, 由(2, 0, 0)出發(fā)依逆時(shí)針方向回到(2, 0, 0) .【解】(1) . (2) .，其中為沿拋物線從點(diǎn)到點(diǎn).【解】 曲線L上點(diǎn)(x, y)處的切向量為, 單位切向量為 . 故 . ，其中為從點(diǎn)經(jīng)圓弧到點(diǎn)的那一段.【解】=.例6. 設(shè)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)沿以為直徑的半圓周從到 按逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，所受力為，的大小等于點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，其方向垂直于線段且與軸正向夾角小于求變力對質(zhì)點(diǎn)所做的功.【解】 設(shè)按題意，變力的大小為 向徑，的單位向量為 則變力的單位向量應(yīng)為所以 變力圓弧的方程為化為參數(shù)式即為 所以變力對質(zhì)點(diǎn)所做的功為 例7. 在變力的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面上第一卦限的哪一點(diǎn)做功最大？并求出最大值.【解】設(shè)橢球面上第一卦限的點(diǎn)為，則過原點(diǎn)和的直線方程為.故所做功為..引入朗格朗日函數(shù)，求出該函數(shù)唯一駐點(diǎn)為故該唯一駐點(diǎn)就是最值點(diǎn)，最大功例8. 在過點(diǎn)和點(diǎn)的曲線族中，求一條曲線，使沿該曲線從到的積分的值最小.【解】將以參數(shù)方程形式表示為令 令，得或（舍去）是函數(shù)的駐點(diǎn).又，.，其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段.【解】.，從軸正向往軸負(fù)向看去為逆時(shí)針方向，求.【解】的參數(shù)方程為代入到曲線積分得：.（三）格林