初中數(shù)學(xué)競賽講解教材第五講三角形的五心(編輯修改稿)
2025-09-13 08:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2a2. ③由①、②、③有A=r2+bc(4R2a2)=(a2+b2+c2)4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)4R2+r2，=(a2+b2+c2)4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，要掌握張角公式，還要記住下面一個(gè)極為有用的等量關(guān)系：設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，射線AI交△ABC外接圓于A′，則有A ′I=A′B=A′，點(diǎn)A′必是△IBC之外心(內(nèi)心的等量關(guān)系之逆同樣有用).例7．ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的內(nèi)心O1， O2，O3，：O1O2O3O4為矩形. (1986，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)證明見《中等數(shù)學(xué)》1992；4例8．已知⊙O內(nèi)接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與⊙：EF中點(diǎn)P是△ABC之內(nèi)心.(B波拉索洛夫《中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克》)分析：在第20屆IMO中，美國提供的一道題實(shí)際上是例8的一種特例，但它增加了條件AB=≠AC，怎樣證明呢？ 如圖，顯然EF中點(diǎn)P、圓心Q，BC中點(diǎn)K都在∠=. ∵QKAQ=MQQN， ∴QK= ==. 由Rt△EPQ知PQ=. ∴PK=PQ+QK=+=. ∴PK=BK. 利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是△ABC這內(nèi)心.五、旁心 三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線相交于一點(diǎn)，是旁切圓的圓心，旁心還與三角形的半周長關(guān)系密切.例9．在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p. 式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周. (杭州大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題》)分析：設(shè)Rt△ABC中，c為斜邊，先來證明一個(gè)特性：p(pc)=(pa)(pb).∵p(pc)=(a+b+c)(a+bc) =[(a+b)2c2] =ab；(pa)(pb)=(a+b+c)(ab+c) =[c2(ab)2]=ab.∴p(pc)=(pa)(pb). ①觀察圖形，可得ra=AFAC=pb，rb=BGBC=pa，rc=CK=p.而r=(a+bc) =pc.∴r+ra+rb+rc =(pc)+(pb)+(pa)+p =4p(a+b+c)=2p.由①及圖形易證.例10．M是△，r2，r分別是△A
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