三角形角平分線(xiàn)專(zhuān)題講解(編輯修改稿)
2025-04-20 05:44 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 系到三角形中兩線(xiàn)段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 已知如圖11：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+ANMD+DE+NE。（1）在△BDM中，MB+MDBD；（2）在△CEN中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE∴AB+ACBD+DE+EC（法二：圖12）延長(zhǎng)BD交AC于F，廷長(zhǎng)CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）GF+FCGE+CE（同上）（2）DG+GEDE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+ACBD+DE+EC。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖21：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC∠BAC。分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC∠DEC，同理∠DEC∠BAC，∴∠BDC∠BAC證法二：連接AD，并廷長(zhǎng)交BC于F，這時(shí)∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF∠BAD，同理，∠CDF∠CAD，∴∠BDF+∠CDF∠BAD+∠CAD，即：∠BDC∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線(xiàn)時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖31：已知AD為△ABC的中線(xiàn)，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CFEF。分析：要證BE+CFEF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線(xiàn)作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）∴BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FNEF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線(xiàn)時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、 截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線(xiàn)。例如：已知如圖61：在△ABC中，ABAC，∠1=∠2，P為AD上任一點(diǎn)求證：ABACPBPC。分析：要證：ABACPBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線(xiàn)段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABAC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中AN=AC（輔助線(xiàn)作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PBPNBN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BPPCABAC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M，使AM=AB，連接PM，在△ABP和△AMP中AB=AM（輔助線(xiàn)作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又∵在△PCM
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