三角形角平分線專題講解-閱讀頁
2025-04-08 05:44本頁面
【正文】 在△APN和△APC中AN=AC（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對應邊相等）∵在△BPN中，有PBPNBN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BPPCABAC證明：（補短法）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在△ABP和△AMP中AB=AM（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形對應邊相等）又∵在△PCM中有：CMPMPC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴ABACPBPC。求證：AE=AD+BE。例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108176。DCBA求證：BC=AB+DC。AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB于M，且AM=MB。1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。三角形中有中線，延長中線等中線。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因為ΔABD與ΔACD是等底同高的）。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積?！唳DF的面積為。求證：∠BGE=∠CHE。（三）、由中線應想到延長中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而BE=AC=3。∴BD===，故BC=2BD=2。求證：ΔABC是等腰三角形。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。證明：取AB的中點E，連結DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。求證：BD=2CE?！唳EF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。故∠1=∠3。∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。例一：如圖41：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CFEF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中點定義）∠1=∠5（對頂角相等）ED=MD（輔助線作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180176。即：∠EDF=90176。在△EDF和△MDF中ED=MD（輔助線作法）∠EDF=∠FDM（已證）DF=DF（公共邊）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形對應邊相等）∵在△CMF中，CF+CMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CFEF上題也可加倍FD，證法同上。例二：如圖51：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC2AD。練習：1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點，求AD的取值范圍。BECDA 3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，∠BAC=∠DAE=90176。DMCDEDADBD4，已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖52，求證EF=2AD。2. 若不是心寬似海，哪有人生風平浪靜。用一些事情，總會看清一些人。既糾結了自己，又打擾了別人。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。你必須努力，當有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。學習參考
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