初中數(shù)學(xué)競賽講解教材第五講三角形的五心-全文預(yù)覽
【正文】 定比2:1及中線長度公式，便于解題.例3．AD，BE，CF是△ABC的三條中線，：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和. (第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)G為△ABC重心，直線PG與AB，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A′，C′，D′，E′，F(xiàn)′. 易證AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′， ∴EE′=DD′+FF′. 有S△PGE=S△PGD+S△PGF. 兩邊各擴大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4．如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，.分析：將△ABC簡記為△，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為△′.G為重心，連DE到H，使EH=DE，連HC，HF，則△′就是△HCF. (1)a2，b2，c2成等差數(shù)列△∽△′. 若△ABC為正三角形，易證△∽△′. 不妨設(shè)a≥b≥c，有 CF=， BE=， AD=. 將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得 CF=，BE=，AD=. ∴CF:BE:AD =:: =a:b:c. 故有△∽△′. (2)△∽△′a2，b2，c2成等差數(shù)列. 當(dāng)△中a≥b≥c時， △′中CF≥BE≥AD. ∵△∽△′， ∴＝()2. 據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=. ∴=3a2=4CF2=2a2+b2c2a2+c2=2b2.三、垂心 三角形三條高的交戰(zhàn)，(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利.例5．設(shè)A1A2A3A4為⊙O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△：H1，H2，H3，H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置. (1992，全國高中聯(lián)賽)分析：連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑△A2A3A4知 =2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4； 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. 但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易證A2H1∥A1A2，于是，A2H1 A1H2， 故得H1H2 ，故H1H2與A1A2關(guān)于M點成中心對稱. 同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，M兩點，Q點就不難確定了.例6．H為△ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是B
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