[高等教育]第三章-線性代數(shù)指導書(編輯修改稿)
2024-09-13 04:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 正交的特征向量對于,可類似地得到的屬于特征值的特征向量（用句點）對于,可類似地得到的屬于特征值的特征向量（用句點）將上述四個兩兩正交的特征向量單位化,得則在正交變換下,二次型的標準形為 已知一個矩陣,求它的特征值與特征向量,已知一個矩陣的特征值與特征向量,也可求出矩陣.例5 設３階對稱矩陣的特征值為，．與對應的特征向量為．求.解法1 （改用句點）故有（改用句點）解這個方程組,得到它的一個基礎(chǔ)解系,即對應于的兩個線性無關(guān)的特征向量：將正交化,得（第二行后面用句點）再將,單位化得因此,我們得到一個正交矩陣且 因此,解法2 （改用句點）解這個方程組,得到方程組的一個基礎(chǔ)解系,即對應于的線性無關(guān)的特征向量：令,則因此, 由于所以 ,偶數(shù)階順序主子式為正來判定矩陣的負定性. 例6 設,問取何值時, 為正定二次型?解 的矩陣為 .由于,當即當時,所給的二次型正定.例7 判別二次型的正定性；解 的矩陣為.因為所以, 為負定二次型.四、習題解答習題三A 組１．設，求（１），；（２）與之間的距離和夾角．解 (1) (2) ２．驗證向量與正交，并求一個非零向量，使得，兩兩正交．解 即與正交.設有,使兩兩正交. 則 從而有,.解方程組取,得則當時，兩兩正交.３．已知，求一組非零向量，使得，兩兩正交．解 設與正交的向量應滿足即將它看成是關(guān)于的線性方程組. 經(jīng)計算得這個方程組的一個基礎(chǔ)解系為再將正交化得則為所求,即，兩兩正交(注:答案不唯一).４．設是中的正交規(guī)范向量組，令 和，（１）求的值；（２）求的值．解 (1) ==；(2) ５．設是中的正交規(guī)范向量組，是正交矩陣，則，…，也是中的正交規(guī)范向量組．證明 因為所以, ，…，也是中的正交規(guī)范向量組．６．下列矩陣是否為正交矩陣？說明理由：（１）； ?。ǎ玻?(1) ，則(2) 是. 因為令，. 則,且 所以，,所給矩陣為正交矩陣.７．已知為正交矩陣，求a，b，c．解 令，則由,得８．用施密特方法將下列向量組正交化：（１）； （２）．解 (1) 由于，， (2) 由于，,９．設，，和是否是的特征向量？解 因為所以,是的屬于特征根的特征向量.又因為所以,不是的特征向量.１０．設矩陣 .是的一個特征值嗎？如果是，求對應于的所有特征向量．解 因為 所以, 是的一個特征值. 解方程組 即,其中不全為零.１１．求下列矩陣的特征值與特征向量： （１）； （２）．解 (1) 因為矩陣的特征方程為所以的特征值分別為. 當時,因此, 齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系為. 從而，的屬于特征值的一個特征向量為，（為任意非零常數(shù)）為屬于特征值的全部特征向量. 當時, 因此, 齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系為. 從而，的屬于特征值的一個特征向量為. （為任意非零常數(shù)）為屬于特征值的全部特征向量. 當時,因此, 齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系為. 從而，的屬于特征值的一個特征向量為，（為任意非零常數(shù)）為屬于特征值的全部特征向量. (2) 因為矩陣的特征方程為所以的特征值分別為. 當時,因此, 齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系為. 從而，的屬于特征值的一個特征向量為，（為任意非零常數(shù)）為屬于特征值的全部特征向量. 當時, 因此, 齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系為. 從而，的屬于特征值的兩個線性無關(guān)的特征向量為. （為不全為零的任意常數(shù)）為屬于特征值的全部特征向量. １２．設３階矩陣的特征值為，．對應的特征向量依次為，．求．解 先將，正交化,再將單位化,得 令則. 因此 １３．設 .求．解 矩陣的特征方程為（改用句點）所以,矩陣的特征根為. 當時,因此, 齊次線性方程組 的
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