20xx高中數(shù)學(xué)黃金100題系列——專題06分段函數(shù)解析版word版含解析(編輯修改稿)
2024-12-18 06:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的奇偶性 【例 6】 【 2020 屆北 京市海淀區(qū) 高三第二學(xué)期 期中練習(xí)理 】已知函 數(shù)s in ( ), 0 ,() c o s ( ), 0x a xfx x b x???? ? ??? 是偶函數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（ ） A． ,44ab??? ?? B． 2 ,36ab???? C． ,36ab???? D． 52,63ab???? 【答案】 C 【解析】本題考查分段函數(shù)、函數(shù)的奇偶性、兩角和與差的正弦與余弦公式．若 0x? ，則 0x?? ，因?yàn)?si n( ) si n c os c os si nx a x a x a? ? ?，c os( ) c os c os si n si nx b x b x b? ? ? ?，且 ()fx 為 偶 函 數(shù) ， 所 以 由 題 意 知si n c os c os si nx a x a? ＝ cos cos s in s inx b x b? 恒成立，所以必有 sin coscos sinab??? ??，觀察各選項(xiàng)知，只有 C適合，故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】分段函數(shù)的奇偶性主要有兩種題型：（ 1）判斷已知函數(shù)的單調(diào)性，通常根據(jù)判斷定義域是否對(duì)稱、確定 ()fx與 ()fx? 的關(guān)系來(lái)判斷；（ 2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解參數(shù)問(wèn)題，此類的解答通常要利用 ( ) ( )f x f x??或 ( ) ( )f x f x?? ? 建立方程來(lái)解決． 【例 7】 【 2020屆浙江省溫州市高三第二次適應(yīng)性測(cè)試?yán)怼吭O(shè)奇函數(shù)c o s 3 s in 0() c o s s in 0a x x c xfx x b x c x? ? ? ??? ? ? ? ???，則 ac? 的值為 ___________． 【答案】 0 【解析】本題考查分段函數(shù)、函數(shù)的奇偶性．因?yàn)?()fx為奇函數(shù)，所以 (0) 0f ? ，即cos 0 3 si n 0ac??＝ cos 0 sin 0bc??，所以 21ac??；由 ( ) ( ) 022ff??? ? ?，得30c b c? ? ? ? ?，所以 3b?? ；由 ( ) ( ) 0ff? ? ?? ?，得 10a c c? ? ? ? ? ，所以1a?? ，所以 1c? ，所以 0ac?? ． 【方法點(diǎn)撥】已知函數(shù)為奇函數(shù)求相關(guān)的參數(shù)時(shí)，須注意： 如果函數(shù) ()fx在 0x? 時(shí)有定義，則必有 (0) 0f ? ，但如果在 0x? 時(shí)沒(méi)有定義，則通?？紤]利用奇函數(shù)的定義或取特殊的兩個(gè)自變量的值間關(guān)系求解． 考向 4 分段函數(shù)的單調(diào)性 【例 8 】 【 2020 屆 浙 江 寧 波 效 實(shí) 中 學(xué) 高 三 上 期 中 考 試 理 科 】 函 數(shù) 2 1 ( 2 )()1 ( 2 )a x x xfx a x x? ? ? ?? ? ???是 R 上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A． 1 04 a? ? ? B． 14a?? C． 114a? ? ?? D． 1a?? 【答案】 D 【解析】∵ 2 1 ( 2 )()1 ( 2 )a x x xfx a x x? ? ? ?? ? ???是 R 上 的 單 調(diào) 遞 減 函 數(shù) ， ∴01 2122 1 4 2 1aaaaa????? ? ? ? ???? ? ? ???，故考向 5 分段函數(shù)的對(duì)稱性 【例 9】 【 2020 屆安徽省蕪湖市、馬鞍山市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理】若函數(shù),0() ln , 0ax a xfx x x x???? ? ?? 的圖象上有且僅有兩對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A． 1(0, )e B． 1(0, ) (1, )ee C． (1, )?? D． (0,1) (1, )?? 【答案】 D 【解析】本題考查分段函數(shù)的圖象的對(duì)稱性、函數(shù)圖象的應(yīng)用．當(dāng) 0x? 時(shí)，函數(shù)( ) lnf x x x? ，則 ( ) ln 1f x x? ??，于是當(dāng) 10 x e??時(shí)，函數(shù) ()fx單調(diào)遞減，當(dāng) 1x e? 時(shí)，函數(shù) ()fx 單調(diào)遞增，且 11( ) ( )f x f ee? ? ?極 小 值，且 (1) 0f ? ．又當(dāng) 0x? 時(shí)，( ) ( 1 )f x ax a a x? ? ? ?，函數(shù) ()fx恒過(guò)定點(diǎn) ( 1,0)? ，由此可作出函數(shù) ()fx 的圖象，由圖 可知， 要使函數(shù) ()fx 的 圖象 上有且 僅有兩 對(duì)點(diǎn)關(guān)于 原點(diǎn)對(duì) 稱，則 函數(shù)( ) ln ( 0)f x x x x??關(guān) 于 原 點(diǎn) 對(duì) 稱 的 函 數(shù) ln( )( 0)y x x x? ? ?圖 象 與 直 線( ) ( 1)( 0)f x a x x? ? ?有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示．由 ln( )( 0)y x x x? ? ?，得ln( ) 1yx?? ? ? ，則函數(shù) ln( )( 0)y x x x? ? ?在點(diǎn) ( 1,0)? 的切線斜率為 1，由此根據(jù)圖可知實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 01a??或 1a? ，故選 D． 【名師點(diǎn)睛】求解分段函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)存在對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題的策略：首先將 y 軸 一側(cè)的函數(shù)圖象作關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圖象，然后考慮此圖象與原函數(shù)在此側(cè)的函數(shù)圖象之間的交點(diǎn)問(wèn)題，通常根據(jù)它們的位置關(guān)系可建立關(guān)于參數(shù)的不等式求 解． 考向 6 分段函數(shù)的圖象交點(diǎn) 【例 10】 【 2020屆西安中學(xué)高三第四次仿真理】已知定義在 R 上的函數(shù) ()fx滿足：（ 1）( ) (2 ) 0f x f x? ? ?，（ 2 ） (2 ) ( )f x f x? ? ? ；（ 3 ）在 [1,1]? 上 表 達(dá) 式 為21 , [ 1 , 0]() c os( ) , ( 0 ,1 ]2xxfx xx?? ? ? ??? ? ???，則函數(shù)
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