離散數(shù)學(xué)第五版第九章(耿素云、屈婉玲、張立昂編著)(編輯修改稿)
2025-09-11 23:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 {nz|z?Z}.n為自然數(shù)， 那么， nZ,+,0是否為 V的子代數(shù)？ 32 代數(shù)系統(tǒng) 四、平凡子代數(shù)與真子代數(shù)的定義 對(duì)任何代數(shù)系統(tǒng) V={S,f1,f2,……,fk}，最大的子代數(shù)就是 V本身。如果令 V中所有的代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的集合是B，且 B對(duì) V中所有的運(yùn)算都是封閉的，則， B就構(gòu)成了V的最小子代數(shù)。這種最小和最大子代數(shù)稱(chēng)為 V的平凡子代數(shù)。 如果代數(shù)系統(tǒng) V的子代數(shù) V’ ={B,f1,f2,……,fk} ，滿(mǎn)足 B?S，則稱(chēng) V’ 為 V的真子代數(shù)。 33 代數(shù)系統(tǒng) 五、積代數(shù)定義（定義 ） 設(shè) V1=S1,?,V2=S2,*是代數(shù)系統(tǒng)， ?和 *為二元運(yùn)算。V1和 V2的積代數(shù) V1 V2是含有一個(gè)二元運(yùn)算 ?的代書(shū)系統(tǒng)，即 V1 V2=S,?,其中 S=S1 S2,對(duì)任意的x1,y1,x2,y2?S1 S2有 x1,y1?x2,y2=x1?x2,y1*y2 34 代數(shù)系統(tǒng) 例 13： 設(shè) V1=Z,+,0， V2=Z,*,1,求 V1與 V2的積代數(shù)。 V1 V2=Z Z,?,0,1,其中： x1,y1?x2,y2=x1+x2,y1*y2 35 代數(shù)系統(tǒng) 六、同態(tài)的定義 (定義 ) 設(shè) V1=S1,?,V2=S2,*是代數(shù)系統(tǒng)， ? 和 *是二元運(yùn)算。如果存在映射 ?： S1?S2，若 ?x， y?S1都有 ?(x?b)=?(x)*?(y) 則稱(chēng) ?是 V1到 V2的 同態(tài)映射 ，簡(jiǎn)稱(chēng) 同態(tài) 。 36 代數(shù)系統(tǒng) 例 14： (1)G1=Z,+， G2=Zn,?,令 ?： Z?Zn， ?(x)=(x)modn 則 ?是否為 G1到 G2的同態(tài)？ 37 代數(shù)系統(tǒng) 例 15： (2)G1=R,+， G2=R+ ,?,令 ?： R?R+ ， ?(x)= ex 則 ?是否為 G1到 G2的同態(tài) ？ 38 代數(shù)系統(tǒng) 七、同態(tài)象的定義 (定義 ) 設(shè) ?是 V1=S1,?到 V2=S2,*的同態(tài)，則稱(chēng)?(S1),*是 V1在 ?下的象。 39 代數(shù)系統(tǒng) 八、滿(mǎn)同態(tài)、單同態(tài)、同構(gòu)和自同態(tài) (定義 ) (1)若 ?： G1?G2是滿(mǎn)射的，則稱(chēng) ?為 滿(mǎn)同態(tài) ，這時(shí)也稱(chēng) G2是 G1的 同態(tài)像 ，記作 。 21 ~GG ?(2)若 ?： G1?G2是單射的，則稱(chēng) ?為 單同態(tài) 。 (3)若 ?： G1?G2是雙射的，則稱(chēng) ?為 同構(gòu) ，記作 。 21 GG ??(4)若 G1=G2，則稱(chēng) ?是群 G的 自同態(tài) 。 40 代數(shù)系統(tǒng) 例 16： 設(shè) V=R+,?，其中 ?為普通成法。對(duì)任意 x?R+令?1(x)=|x|， ?2(x)=2x, ?3(x)=x2, ?4(x)=1/x, ?5(x)=x,則分析他們是否為 V到 V的同態(tài)，如果是，則分別為什么同態(tài)。 41 第九章 代數(shù)系統(tǒng)簡(jiǎn)介 ? 二元運(yùn)算及其性質(zhì) ? 代數(shù)系統(tǒng) ? 幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng) ? 半群與群 42 (1)半群與群 一、半群的定義 (定義 ) （ 1）設(shè) V=S, ? 是代數(shù)系統(tǒng)， ?為二元運(yùn)算，如果 ? 是可結(jié)合的，則稱(chēng) V為 半群 。 （ 2）設(shè) V=S, ? 是半群， 若 e?S是關(guān)于 ?運(yùn)算的單位 元，則稱(chēng) V是 含幺半群 ，也叫 獨(dú)異點(diǎn) 。有時(shí)也將 獨(dú)異點(diǎn) V記作 S, ? ,e。 43 (1)半群與群 例 1： (1)Z,+,N,+,Q,+,R,+都是半群，其中 +表示普通加法。 (2) ,?是半群，其中 是有窮字母表， ? 表示連接運(yùn)算 。 ?* ?(3)P(B),?是半群，也是獨(dú)異點(diǎn)，其中 ?為集合的對(duì)稱(chēng)差運(yùn)算 。 (4)Zn,?是半群，其中 Zn ={0,1,……,n1},?表示模 n的加法 。 44 (1)半群與群 二、冪運(yùn)算的定義 半群 V=S, ? ，對(duì)于任意 x?S，規(guī)定： 普通乘法的冪、關(guān)系的冪等都遵循這個(gè)冪運(yùn)算規(guī)則。 ?? ???Znxxxxxnn ，?11冪運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則： nmmnmnmnxxZmnxxx??? ??)(, ，?對(duì)獨(dú)異點(diǎn)有： ex ?045 (1)半群與群 三、子半群的定義 半群的子代數(shù)叫做 子半群 ，獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)叫做 子獨(dú) 異點(diǎn) 。若 V=S, ? 是半群， T?S，只要 T對(duì) V中的運(yùn)算 ?封閉，那么 T, ? 就是 V的 子半群 。而對(duì)獨(dú)異點(diǎn) V=S, ?,e 來(lái)說(shuō)， T?S，不僅 T對(duì) V中的運(yùn)算 ?封閉，而 且 e?T，這時(shí) T, ?,e 才構(gòu)成 V的 子獨(dú)異點(diǎn) 。 46 (1)半群與群 例 2：設(shè)獨(dú)異點(diǎn) V1=Z,+,0， V2=nZ,+,0,V2是否為 V1的子獨(dú)異點(diǎn)？ 47 (1)半群與群 四、積半群 設(shè) V1=S1,?， V2=S2,*是半群（或獨(dú)異點(diǎn)）， 則 V1 V2=S1 S2,?也是半群，且 ： ?a,b， c,d?S1 S2， a,b?c,d=a?c,b*d 稱(chēng) V1 V2 為 V1和 V2的 積半群 。 若 V1和 V2是獨(dú)異點(diǎn)，其單位元為 e1和 e2，則 e1,e2是 V1 V2中的單位元。因此 V1 V2也是獨(dú)異點(diǎn)。 48 (1)半群與群 五、半群的同構(gòu) (1)設(shè) V1=S1,?， V2=S2,*是半群， ?:S1?S2。若對(duì)任意 的 x， y?S1有 ?(x?y)=?(x)*?(y) 則稱(chēng) ?為半群 V1到 V2的 同態(tài)映射 ，簡(jiǎn)稱(chēng)為 同態(tài) 。 (2)設(shè) V1=S1,?,e1， V2=S2,*,e2是獨(dú)異點(diǎn)， ?:S1?S2。 若對(duì)任意的 x， y?S1有 ?(x?y)=?(x)*?(y) 且 ?(e1)=e2 則稱(chēng) ?為獨(dú)異點(diǎn) V1到 V2的 同態(tài)映射 ，簡(jiǎn)稱(chēng)為 同態(tài) 。 49 (1)半群與群 例 3：設(shè)半群 V1=S,? ，獨(dú)異點(diǎn) V2=S, ?,e 。其中 ?為矩陣乘法， e為 2階單位矩陣。令 則 ?是半群 V1=S,?
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