【正文】 78 (1)半群與群 例 20： ?????????5 1 4 3 2 5 4 3 2 1?是幾階輪換？ ?????????2 3 4 1 5 5 4 3 2 1? 呢？ 79 (1)半群與群 例 21：設(shè) S={1,2,……,8}, ?????????7 8 1 2 4 6 3 5 8 7 6 5 4 3 2 1?它們的輪換表達式是什么？ ?????????3 5 7 6 2 4 1 8 8 7 6 5 4 3 2 1?如何用對換來表示它們？ ?=(15236)(4)(78) ?=(18342)(567) 80 (1)半群與群 二十一、 n元對稱群的定義 Sn：所有 n元置換的集合； ?：兩個 n元置換的積； 則 Sn,?為 n元對稱群。 64 (1)半群與群 例：設(shè) G為群，ａ ?Ｇ，令 Ｈ＝｛ａ ｋ ｜ｋ ?Ｚ｝ 即ａ的所有冪構(gòu)成的集合，則求證Ｈ是Ｇ的子群。 (3)若群 G中的二元運算是 可交換 的，則稱 G為 交換群 或 阿貝爾群 。 若對任意的 x， y?S1有 ?(x?y)=?(x)*?(y) 且 ?(e1)=e2 則稱 ?為獨異點 V1到 V2的 同態(tài)映射 ，簡稱為 同態(tài) 。 （ 2）設(shè) V=S, ? 是半群， 若 e?S是關(guān)于 ?運算的單位 元，則稱 V是 含幺半群 ，也叫 獨異點 。 例如： v1=N,+,0 v2=Z,+,0 31 代數(shù)系統(tǒng) 例 12： 設(shè) V=Z,+,0，令 nZ={nz|z?Z}.n為自然數(shù)， 那么， nZ,+,0是否為 V的子代數(shù)？ 32 代數(shù)系統(tǒng) 四、平凡子代數(shù)與真子代數(shù)的定義 對任何代數(shù)系統(tǒng) V={S,f1,f2,……,fk}，最大的子代數(shù)就是 V本身。 ?自然數(shù)集 N上的除法 零元，零元是 。 12 設(shè) ?為 S上的二元運算 ,如果對于任意的 x?S都有 x?x=x 則稱運算 ?在 S上適合等冪律 . （ 3） 冪等律（定義 ） 集合的 ?、 ?是復(fù)合等冪律的。 （ 1）當(dāng) n=1時，則函數(shù) f:S?S為 S上的一元運算，如 ?(x)=y （ 2） 當(dāng) n=2時，則函數(shù) f:S S?S為 S上的二元運算。 ?冪集 P(S)上的 ?運算 幺元，幺元是 。 ly yyy rl ??ry24 六、消去律（定義 ） 設(shè) ?為 S上的二元運算 ,如果對于任意的 x,y,z?S滿足以下 條件： (1)若 x?y=x?z且 x??，則 y=z。 39 代數(shù)系統(tǒng) 八、滿同態(tài)、單同態(tài)、同構(gòu)和自同態(tài) (定義 ) (1)若 ?： G1?G2是滿射的，則稱 ?為 滿同態(tài) ，這時也稱 G2是 G1的 同態(tài)像 ，記作 。而對獨異點 V=S, ?,e 來說， T?S，不僅 T對 V中的運算 ?封閉，而 且 e?T，這時 T, ?,e 才構(gòu)成 V的 子獨異點 。 ?(3)P(B),?，其中 ?為集合的對稱差運算 。 (2)若 ba=ca，則 b=c。 （ 3）設(shè) G=a是 n階循環(huán)群，則對 n的每個正因子 d， G恰好含 有一個 d階子群。 6階子群： {(1),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)}。對于任何 小于等于 n且與 n互素的正整數(shù) r， 是 G的生成元。 例 9：設(shè)群 G=P({a,b}),?，其中 ?為集合的對稱差運 算 。 1?x51 (1)半群與群 例 6： (1)Z,+,N,+,Q,+,R,+，其中 +表示普通加法。 ?? ???Znxxxxxnn ，?11冪運算的運算規(guī)則： nmmnmnmnxxZmnxxx??? ??)(, ，?對獨異點有： ex ?045 (1)半群與群 三、子半群的定義 半群的子代數(shù)叫做 子半群 ，獨異點的子代數(shù)叫做 子獨 異點 。如果存在映射 ?： S1?S2，若 ?x， y?S1都有 ?(x?b)=?(x)*?(y) 則稱 ?是 V1到 V2的 同態(tài)映射 ，簡稱 同態(tài) 。如果 x的逆元 存在，則稱 x是可逆的。 ?自然數(shù)集 N上的乘法 幺元，幺元是 。 ?S中任意兩個元素的運算結(jié)果都屬于 S，即 S對該運 算是封閉的。 （ 4） 分配律（定義 ） 14 設(shè) ?和 *是 S上的兩個 可交換的二元運算 ,如果對于任意的 x， y?S有 x*(x?y)=x x?(x*y)=x 則稱運算 *和 ?滿足吸收律。 ?冪集 P(S)上的 ?運算 零元，零元是 。這種最小和最大子代數(shù)稱為 V的平凡子代數(shù)。 43 (1)半群與群 例 1： (1)Z,+,N,+,Q,+,R,+都是半群，其中 +表示普通加法。其中 ?為矩陣乘法， e為 2階單位矩陣。 設(shè) G是群， a?G， n?Z，則 a的 n次冪 ?????????????mnnanaaneamnn,0)(0011 56 (1)半群與群 九、元素的階、無限階元 設(shè) G是群， a?G，使得等式 成立的最小正整數(shù) k稱為 a的階 ，記作 |a|=k，這是也稱 a為 k階元 。 ka注： (1)任何素數(shù)階的群都是循環(huán)群。 83 例 23： S3={(1),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)} 的子群有： 1階子群： {(1)}。 1 2 3 4