【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ）可將多自由度問題化成單自由度問題來解決。實(shí)）可將多自由度問題化成單自由度問題來解決。實(shí)際上，只要設(shè)際上，只要設(shè) {u(t)}=?yi(t){A}i ， 代入運(yùn)動(dòng)方程可得代入運(yùn)動(dòng)方程可得[M]?255。i(t){A}i +[K] ?yi(t){A}i={0} (e)方程兩邊同時(shí)左乘方程兩邊同時(shí)左乘 {A}jT， 根據(jù)正交性則有根據(jù)正交性則有Mj*255。j(t)+Kj*yi(t)=0 (20)從式從式 (20)可得可得 (根據(jù)單自由度自由振動(dòng)結(jié)果根據(jù)單自由度自由振動(dòng)結(jié)果 ) yi(t)=aisin(?it+ci) (f)代回多自由度所假設(shè)的解，即可得代回多自由度所假設(shè)的解，即可得{u(t)}=?aisin(?it+ci){A}i (21)5）） 式式 (21)中的待定常數(shù)中的待定常數(shù) ai、 ci可由初始條件確定。如何可由初始條件確定。如何確定請(qǐng)自行考慮。確定請(qǐng)自行考慮。6）正交性還是受迫振動(dòng)分析的基礎(chǔ)。）正交性還是受迫振動(dòng)分析的基礎(chǔ)。 多自由度的受迫振動(dòng)多自由度的受迫振動(dòng) 多自由度受迫振動(dòng)的振型分解法多自由度受迫振動(dòng)的振型分解法 多自由度任意荷載下運(yùn)動(dòng)方程為多自由度任意荷載下運(yùn)動(dòng)方程為象上節(jié)象上節(jié) 4）一樣，設(shè)）一樣，設(shè) {u}=?yi(t){A}i ， 也即位移分解成各也即位移分解成各振型的組合，組合系數(shù)振型的組合，組合系數(shù) yi(t)稱稱 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 。則。則[M]?255。i(t){A}i +[C]?253。i(t){A}i +[K]?yi(t){A}i={P(t)} (a)如果阻尼矩陣對(duì)振型不正交，也即如果阻尼矩陣對(duì)振型不正交，也即{A}jT[C]{A}i?0 (b)則式則式 (a)將是聯(lián)列的微分方程組，求解將是很困難的。將是聯(lián)列的微分方程組，求解將是很困難的。為此，通常引入正交阻尼假設(shè)，也稱為此，通常引入正交阻尼假設(shè)，也稱 Rayleigh(瑞利瑞利 )比比例阻尼例阻尼 如下如下[C]=?0[M]+ ?1[K] (22)也即認(rèn)為阻尼和系統(tǒng)質(zhì)量、剛度成正比，也即認(rèn)為阻尼和系統(tǒng)質(zhì)量、剛度成正比， ?0比比 ?1可用可用振型正交性由阻尼比振型正交性由阻尼比 ?i， ?j和頻率和頻率 ?i， ?j確定確定 (作業(yè)作業(yè) )。 多自由度的受迫振動(dòng)多自由度的受迫振動(dòng) 在正交阻尼假設(shè)下，在正交阻尼假設(shè)下， {A}iT[C]{A}i=Ci* (23)式式 (a)兩邊同時(shí)左乘兩邊同時(shí)左乘 {A}iT， 則可得則可得Mi*255。i(t) +Ci*253。i(t)+Ki*yi(t)={A}iT{P(t)} (24)其中其中 Mi*、 Ci*、 Ki*分別稱為第分別稱為第 i振型振型 廣義質(zhì)量、廣義阻廣義質(zhì)量、廣義阻尼、廣義剛度尼、廣義剛度 。再記第。再記第 i振型振型 廣義荷載廣義荷載 為為{A}iT[P(t)]=Pi*(t) (25)則式則式 (24)是廣義坐標(biāo)是廣義坐標(biāo) yi(t)的單自由度方程的單自由度方程Mi*255。i(t) +Ci*253。i(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t) (26)利用利用 Duhamel積分可求出式積分可求出式 (26)的解答為的解答為代回代回 {u}=?yi(t){A}i ， 即可得多自由度受迫振動(dòng)解答。即可得多自由度受迫振動(dòng)解答。脈響函數(shù)脈響函數(shù)自由振動(dòng)自由振動(dòng) 多自由度的受迫振動(dòng)多自由度的受迫振動(dòng) 如果如果 [P(t)]=[P]f(t) (27)則則 Pi*(t)={A}iT[P]f(t)= Pi*f(t) (c)記記 ?i ={A}iT[P]/Mi*=Pi*/Mi* (28)稱為第稱為第 i振型的振型的 振型參與系數(shù)振型參與系數(shù) 。則可得。則可得Mi*255。i(t) +Ci*253。i(t)+Ki*yi(t)=?i Mi*f(t) (29)或或 255。i(t) +2?i?i253。i(t)+?i2yi(t)=?if(t) (30) 在零初始條件下，廣義坐標(biāo)為在零初始條件下，廣義坐標(biāo)為代回代回 {u}=?yi(t){A}i ， 即可得即可得 {u}=??i?i(t){A}i 。 ?i(t)稱為稱為第第 i振型的振型的 廣義位移廣義位移 。(31)(32) 多自由度的受迫振動(dòng)多自由度的受迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧荷載下的受迫振動(dòng)反應(yīng)簡(jiǎn)諧荷載下的受迫振動(dòng)反應(yīng) 設(shè)動(dòng)荷載（轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)器引起）為設(shè)動(dòng)荷載（轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)器引起）為 {P(t)}={P}sin?t (33)則由式則由式 (28)可求得各振型的振型參與系數(shù)可求得各振型的振型參與系數(shù) ?i ， 當(dāng)只討論當(dāng)只討論穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，并且認(rèn)為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，并且認(rèn)為 ?i=?i,d (忽略阻尼對(duì)頻率的影響忽略阻尼對(duì)頻率的影響 )時(shí)，根據(jù)單自由度所得結(jié)果，廣義位移為時(shí)，根據(jù)單自由度所得結(jié)果，廣義位移為?i(t)=?isin(?it?i)/?i2 (34)式式 (34)中中 ?i為第為第 i振型動(dòng)力系數(shù)振型動(dòng)力系數(shù)?i=[(1?i2)2+4?i2?i2]1/2 (35)其中其中 ?i為第為第 i振型頻率比振型頻率比 (?i=?/?i)， ?i為第為第 i振型相位角振型相位角tg?i=2?i?/?i(1?i2) (36)將式將式 (34)代回代回 {u}=??i?i(t){A}i ， 得得{u(t)}=?[?i?isin(?it?i)/?i2]{A}i (37) 無阻尼情況自然可以當(dāng)作有阻尼情況的特例，在上無阻尼情況自然可以當(dāng)作有阻尼情況的特例，在上述結(jié)果中令述結(jié)果中令 ?i=0得到。得到。 多自由度的受迫振動(dòng)多自由度的受迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧荷載受迫振動(dòng)反應(yīng)分析步驟簡(jiǎn)諧荷載受迫振動(dòng)反應(yīng)分析步驟 當(dāng)動(dòng)荷載為當(dāng)動(dòng)荷載為 {P}sin?t[或或 {P}cos?t ]時(shí)，多自由度系時(shí)，多自由度系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)分析，可按如下