【文章內(nèi)容簡介】 ）可將多自由度問題化成單自由度問題來解決。實）可將多自由度問題化成單自由度問題來解決。實際上，只要設(shè)際上，只要設(shè) {u(t)}=?yi(t){A}i ， 代入運動方程可得代入運動方程可得[M]?255。i(t){A}i +[K] ?yi(t){A}i={0} (e)方程兩邊同時左乘方程兩邊同時左乘 {A}jT， 根據(jù)正交性則有根據(jù)正交性則有Mj*255。j(t)+Kj*yi(t)=0 (20)從式從式 (20)可得可得 (根據(jù)單自由度自由振動結(jié)果根據(jù)單自由度自由振動結(jié)果 ) yi(t)=aisin(?it+ci) (f)代回多自由度所假設(shè)的解，即可得代回多自由度所假設(shè)的解，即可得{u(t)}=?aisin(?it+ci){A}i (21)5）） 式式 (21)中的待定常數(shù)中的待定常數(shù) ai、 ci可由初始條件確定。如何可由初始條件確定。如何確定請自行考慮。確定請自行考慮。6）正交性還是受迫振動分析的基礎(chǔ)。）正交性還是受迫振動分析的基礎(chǔ)。 多自由度的受迫振動多自由度的受迫振動 多自由度受迫振動的振型分解法多自由度受迫振動的振型分解法 多自由度任意荷載下運動方程為多自由度任意荷載下運動方程為象上節(jié)象上節(jié) 4）一樣，設(shè)）一樣，設(shè) {u}=?yi(t){A}i ， 也即位移分解成各也即位移分解成各振型的組合，組合系數(shù)振型的組合，組合系數(shù) yi(t)稱稱 廣義坐標廣義坐標 。則。則[M]?255。i(t){A}i +[C]?253。i(t){A}i +[K]?yi(t){A}i={P(t)} (a)如果阻尼矩陣對振型不正交，也即如果阻尼矩陣對振型不正交，也即{A}jT[C]{A}i?0 (b)則式則式 (a)將是聯(lián)列的微分方程組，求解將是很困難的。將是聯(lián)列的微分方程組，求解將是很困難的。為此，通常引入正交阻尼假設(shè)，也稱為此，通常引入正交阻尼假設(shè)，也稱 Rayleigh(瑞利瑞利 )比比例阻尼例阻尼 如下如下[C]=?0[M]+ ?1[K] (22)也即認為阻尼和系統(tǒng)質(zhì)量、剛度成正比，也即認為阻尼和系統(tǒng)質(zhì)量、剛度成正比， ?0比比 ?1可用可用振型正交性由阻尼比振型正交性由阻尼比 ?i， ?j和頻率和頻率 ?i， ?j確定確定 (作業(yè)作業(yè) )。 多自由度的受迫振動多自由度的受迫振動 在正交阻尼假設(shè)下，在正交阻尼假設(shè)下， {A}iT[C]{A}i=Ci* (23)式式 (a)兩邊同時左乘兩邊同時左乘 {A}iT， 則可得則可得Mi*255。i(t) +Ci*253。i(t)+Ki*yi(t)={A}iT{P(t)} (24)其中其中 Mi*、 Ci*、 Ki*分別稱為第分別稱為第 i振型振型 廣義質(zhì)量、廣義阻廣義質(zhì)量、廣義阻尼、廣義剛度尼、廣義剛度 。再記第。再記第 i振型振型 廣義荷載廣義荷載 為為{A}iT[P(t)]=Pi*(t) (25)則式則式 (24)是廣義坐標是廣義坐標 yi(t)的單自由度方程的單自由度方程Mi*255。i(t) +Ci*253。i(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t) (26)利用利用 Duhamel積分可求出式積分可求出式 (26)的解答為的解答為代回代回 {u}=?yi(t){A}i ， 即可得多自由度受迫振動解答。即可得多自由度受迫振動解答。脈響函數(shù)脈響函數(shù)自由振動自由振動 多自由度的受迫振動多自由度的受迫振動 如果如果 [P(t)]=[P]f(t) (27)則則 Pi*(t)={A}iT[P]f(t)= Pi*f(t) (c)記記 ?i ={A}iT[P]/Mi*=Pi*/Mi* (28)稱為第稱為第 i振型的振型的 振型參與系數(shù)振型參與系數(shù) 。則可得。則可得Mi*255。i(t) +Ci*253。i(t)+Ki*yi(t)=?i Mi*f(t) (29)或或 255。i(t) +2?i?i253。i(t)+?i2yi(t)=?if(t) (30) 在零初始條件下，廣義坐標為在零初始條件下，廣義坐標為代回代回 {u}=?yi(t){A}i ， 即可得即可得 {u}=??i?i(t){A}i 。 ?i(t)稱為稱為第第 i振型的振型的 廣義位移廣義位移 。(31)(32) 多自由度的受迫振動多自由度的受迫振動 簡諧荷載下的受迫振動反應(yīng)簡諧荷載下的受迫振動反應(yīng) 設(shè)動荷載（轉(zhuǎn)動機器引起）為設(shè)動荷載（轉(zhuǎn)動機器引起）為 {P(t)}={P}sin?t (33)則由式則由式 (28)可求得各振型的振型參與系數(shù)可求得各振型的振型參與系數(shù) ?i ， 當(dāng)只討論當(dāng)只討論穩(wěn)態(tài)振動，并且認為穩(wěn)態(tài)振動，并且認為 ?i=?i,d (忽略阻尼對頻率的影響忽略阻尼對頻率的影響 )時，根據(jù)單自由度所得結(jié)果，廣義位移為時，根據(jù)單自由度所得結(jié)果，廣義位移為?i(t)=?isin(?it?i)/?i2 (34)式式 (34)中中 ?i為第為第 i振型動力系數(shù)振型動力系數(shù)?i=[(1?i2)2+4?i2?i2]1/2 (35)其中其中 ?i為第為第 i振型頻率比振型頻率比 (?i=?/?i)， ?i為第為第 i振型相位角振型相位角tg?i=2?i?/?i(1?i2) (36)將式將式 (34)代回代回 {u}=??i?i(t){A}i ， 得得{u(t)}=?[?i?isin(?it?i)/?i2]{A}i (37) 無阻尼情況自然可以當(dāng)作有阻尼情況的特例，在上無阻尼情況自然可以當(dāng)作有阻尼情況的特例，在上述結(jié)果中令述結(jié)果中令 ?i=0得到。得到。 多自由度的受迫振動多自由度的受迫振動 簡諧荷載受迫振動反應(yīng)分析步驟簡諧荷載受迫振動反應(yīng)分析步驟 當(dāng)動荷載為當(dāng)動荷載為 {P}sin?t[或或 {P}cos?t ]時，多自由度系時，多自由度系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)分析，可按如下