高考數(shù)學(xué)11個答題模板小結(jié)(編輯修改稿)
2024-09-03 14:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 C ， ∴ OB ⊥ 平面 ACD . 又 ∵ DE ∥ OB ， ∴ DE ⊥ 平面 D AC . ∴ 三棱錐 E — D AC 的體積 V 1 ＝13S △ DA C DE ＝13 3 ( 3 － 1) ＝3 － 33. 又三棱錐 E — AB C 的體積 V 2 ＝13S △ ABC EF ＝13 3 3 ＝ 1 ， ∴ 多面體 AB CDE 的體積為 V ＝ V 1 ＋ V 2 ＝6 － 33. 構(gòu)建答題模板 第一步：畫出必要的輔助線，根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化． 第二步：寫出推證平行或垂直所需條件，注意條件要充分． 第三步：明確寫出所證結(jié)論． 第四步：對幾何體進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化 ( 分割或拼補(bǔ) ) ． 第五步：分別計算幾何體的體積并求和． 第六步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯點(diǎn)及答題規(guī)范． 模板 6 空間角或空間距離問題 【 例 6 】 如圖，在七面體 A B C DMN 中，四邊形 A B C D 是邊長為 2的正方形， MD ⊥ 平面 ABCD ， NB ⊥ 平面 A B C D ，且 MD ＝ 2 ，NB ＝ 1 ， MB 與 ND 交于 P 點(diǎn)． (1) 在棱 AB 上找一點(diǎn) Q ，使 QP ∥ 平面 A MD ，并給出證明； (2) 求平面 B NC 與平面 MNC 所成銳二面角的余弦值． 審題路線圖 ( 1) P 是 △ ABM 的一邊 BM 上的點(diǎn) → 在另一邊 AB 上一定存在一點(diǎn) Q 使 PQ ∥ AM →BA＝BPPM＝NBMD＝12. ( 2) 建立坐標(biāo)系 → 構(gòu)造法向量 → 求夾角． 規(guī)范 解 答 解 ( 1) 當(dāng) BQ ＝13AB 時，有 QP ∥ 平面 AM D . 證明： ∵ MD ⊥ 平面 A B CD ， NB ⊥ 平面 AB CD ， ∴ MD ∥ NB . ∴BPPM＝NBMD＝12. 又QBQA＝12. ∴QBQA＝BPPM. ∴ 在 △ MA B 中， QP ∥ AM . 又 QP ? 面 AMD ， AM ? 面 AMD ， ∴ QP ∥ 面 AMD . ( 2) 以 DA 、 DC 、 DM 所在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖， 則 D ( 0,0,0 ) ， B ( 2,2,0 ) ， C ( 0,2,0 ) ， M ( 0,0,2 ) ， N ( 2,2,1 ) ． ∴ CM→ ＝ (0 ，－ 2,2) ， CN→ ＝ ( 2,0,1 ) ， DC→ ＝ ( 0,2,0 ) ． 設(shè)平面 CMN 的法向量為 n 1 ＝ ( x ， y ， z ) ， 則????? n1CM→＝ 0 ，n1CN→＝ 0. ∴????? － 2 y ＋ 2 z ＝ 0 ，2 x ＋ z ＝ 0. 取 x ＝ 1 ， ∴ n1＝ (1 ，－ 2 ，－ 2) ． 又 NB ⊥ 平面 ABCD ， ∴ NB ⊥ DC ，又 DC ⊥ BC . ∴ DC ⊥ 平面 BNC . ∴ 平面 BNC 的法向量 n2＝ DC→＝ (0,2,0 ) ， c os 〈 n1， n2〉＝n1n2|n1|| n2|＝－ 43 2＝－23. 設(shè)所求的銳二面角大小為 θ ， 則 c os θ ＝ | c os 〈 n 1 ， n 2 〉 |＝23. 故平面 BNC 與平面 M N C 所成銳二面角的余弦值為23. 構(gòu)建答題模板 第一步：作出 ( 或找出 ) 具有公共交點(diǎn)的三條相互垂直的直線． 第二步：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出特殊點(diǎn)坐標(biāo)． 第三步：求 ( 或找 ) 兩個半平面的法向量． 第四步：求法向量 n 1 ， n 2 的夾角或 c os 〈 n 1 ， n 2 〉 ( 若為銳二面角則求| c os 〈 n 1 ， n 2 〉 |) ． 第五步：將法向量的夾角轉(zhuǎn)化為二面角的夾角． 第六步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)及解題規(guī)范．如本題求得c os 〈 n 1 ， n 2 〉＝－23 后易答當(dāng)二面角的余弦值為－23 而出錯，一定要注意這一點(diǎn)． 模板 7 解析幾何中的探索性問題 【 例 7 】 已知定點(diǎn) C ( － 1,0) 及橢圓 x2＋ 3 y2＝ 5 ，過點(diǎn) C 的動直線與橢圓相交于 A ， B 兩點(diǎn)． ( 1) 若線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－12，求直線 AB 的方程； ( 2) 在 x 軸上是否存在點(diǎn) M ，使 MA→ MB→為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 審題路線圖 設(shè) AB 的方程 y ＝ k ( x ＋ 1) → 待定系數(shù)法求 k → 寫出方程；設(shè) M 存在即為 ( m, 0) → 求 MA→ MB→→ 在 MA→ MB→為常數(shù)的條件下求 m . 規(guī)范 解 答 解 ( 1) 依題意，直線 AB 的斜率存在，設(shè)直線 AB 的方程為 y ＝ k ( x ＋ 1) ， 將 y ＝ k ( x ＋ 1) 代入 x2＋ 3 y2＝ 5 ， 消去 y 整理得 (3 k2＋ 1) x2＋ 6 k2x ＋ 3 k2－ 5 ＝ 0. 設(shè) A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 則????? Δ ＝ 36 k4－ 4 ? 3 k2＋ 1 ?? 3 k2－ 5 ? 0 ， ①x 1 ＋ x 2 ＝－6 k23 k2＋ 1. ② 由線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－12，得x 1 ＋ x 22＝－3 k23 k2＋ 1＝－12， 解得 k ＝ 177。33，適合 ① . 所以直線 AB 的方程為 x － 3 y ＋ 1 ＝ 0 或 x ＋ 3 y ＋ 1 ＝ 0. ( 2) 假設(shè)在 x 軸上存在點(diǎn) M ( m, 0) ，使 MA→ MB→ 為常數(shù)． ( ⅰ ) 當(dāng)直線 AB 與 x 軸不垂直時， 由 ( 1) 知 x 1 ＋ x 2 ＝－6 k 23 k 2 ＋ 1， x 1 x 2 ＝3 k 2 － 53 k 2 ＋ 1. ③ 所以 MA→ MB→＝ ( x 1 － m )( x 2 － m ) ＋ y 1 y 2 ＝ ( x 1 － m )( x 2 － m ) ＋ k2( x 1 ＋ 1) ( x 2 ＋ 1) ＝ ( k2＋ 1) x 1 x 2 ＋ ( k2－ m )( x 1 ＋ x 2 ) ＋ k2＋ m2. 將 ③ 代入，整理得 MA→ MB→＝? 6 m － 1 ? k2－ 53 k2＋ 1＋ m2 ＝??????2 m －13? 3 k2＋ 1 ? － 2 m －1433 k2＋ 1＋ m2 ＝ m2＋ 2 m －13－6 m ＋ 143
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