高考數(shù)學(xué)11個(gè)答題模板小結(jié)-資料下載頁(yè)
2025-08-07 14:40本頁(yè)面
【正文】 a2x2 ＋ 1 ＝x2＋ ax － 2 a2x2 ＝? x － a ?? x ＋ 2 a ?x2 ( x 0) ． ① 當(dāng) a 0 時(shí)，因?yàn)?x 0 ， 由 f′ ( x ) 0 得 ( x － a )( x ＋ 2 a ) 0 ， 解 得 x a ； 由 f′ ( x ) 0 得 ( x － a )( x ＋ 2 a ) 0 ， 解 得 0 x a . 所以函數(shù) f ( x ) 在 ( a ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞增，在 (0 ， a ) 上單調(diào)遞減． ② 當(dāng) a 0 時(shí)，因?yàn)?x 0 ， 由 f ′ ( x ) 0 得 ( x － a )( x ＋ 2 a ) 0 ， 解 得 x － 2 a ； 由 f ′ ( x ) 0 得 ( x － a )( x ＋ 2 a ) 0 ， 解 得 0 x － 2 a . 所以函數(shù) f ( x ) 在 (0 ，－ 2 a ) 上單調(diào)遞減，在 ( － 2 a ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞增． ( 3) 證明 由 ( 2) 知，當(dāng) a ? ( － ∞ ， 0) 時(shí)，函數(shù) f ( x ) 的最小值為 f ( － 2 a ) ， 即 g ( a ) ＝ f ( － 2 a ) ＝ a ln( － 2 a ) ＋2 a2－ 2 a－ 2 a ＝ a ln( － 2 a ) － 3 a . g ′ ( a ) ＝ ln( － 2 a ) ＋ a － 2－ 2 a－ 3 ＝ ln( － 2 a ) － 2 ， 令 g ′ ( a ) ＝ 0 ， 得 a ＝－12e2. 當(dāng) a 變化時(shí)， g ′ ( a ) ， g ( a ) 的變化情況如下表： a ( － ∞ ，－12e2) －12e2 ( －12e2,0) g ′ ( a ) ＋ 0 － g ( a ) ↗ 極大值 ↘ －12e2是 g ( a ) 在 ( － ∞ ， 0) 上的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，從而也是g ( a ) 的最大值點(diǎn)． 所以 g ( a ) 最大值 ＝ g????????－12e2 ＝－12e2ln????????－ 2 ????????－12e2－ 3????????－12e2 ＝－12e2ln e2＋32e2＝12e2. 所以，當(dāng) a ? ( － ∞ ， 0) 時(shí)， g ( a ) ≤12e2成立． 構(gòu)建答題模板 第一步 ：確定函數(shù)的定義域．如本題函數(shù)定義域?yàn)? (0 ，＋ ∞ ) ． 第二步 ：求函數(shù) f ( x ) 的導(dǎo)數(shù) f′ ( x ) ． 第三步 ： 求方程 f′ ( x ) ＝ 0 的根． 第四步 ： 利用 f′ ( x ) ＝ 0 的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的 x 的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列出表格． 第五步 ： 由 f′ ( x ) 在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷 f ( x ) 在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值． 第六步 ： 明確規(guī)范地表述結(jié)論． 第七步 ： 反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及 解 題規(guī)范．如本題第 ( 2)問(wèn)易忽視定義域，對(duì) a 不能正確分類討論． 模板 11 含參不等式的恒成立問(wèn)題 【 例 11 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x3＋ bx2＋ cx ＋ d ，當(dāng) x ＝－23和 x ＝ 1 時(shí)取得極值． ( 1) 求 b 和 c 的值； ( 2) 若對(duì)于任意 x ? [ － 1, 2] ， f ( x ) 2 d2－ 1 恒成立，求 d 的取值范圍． 審題路線圖 f ( x ) → f ′ ( x ) →????? f ′??????－23＝ 0f ′ ? 1 ? ＝ 0→ 求 b ， c → 在 [ － 1 ,2]上求 f ( x ) 的最大值 → 解 不等式 f ( x )ma x2 d2－ 1 → d 的取值范圍． 規(guī)范 解 答 解 ( 1) ∵ f ( x ) ＝ x 3 ＋ bx 2 ＋ cx ＋ d ， ∴ f′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 bx ＋ c . 又 ∵ x ＝－23和 x ＝ 1 是 f ( x ) 的極值點(diǎn)， ∴????? f ′ ? －23? ＝ 0f ′ ? 1 ? ＝ 0，即????? 3 ? －23?2＋ 2 b ? －23? ＋ c ＝ 0 ，3 12＋ 2 b 1 ＋ c ＝ 0 ， 解 之得????? b ＝－12c ＝－ 2. 檢驗(yàn) b ＝－12， c ＝－ 2 符合要求． ( 2) 由 ( 1) 知 f ( x ) ＝ x3－12x2－ 2 x ＋ d ， ∴ f′ ( x ) ＝ 3 x2－ x － 2 ， 令 f′ ( x ) ＝ 0 得 x 1 ＝－23， x 2 ＝ 1 ， 當(dāng) x ? [ － 1 ，－23) 時(shí)， f′ ( x ) 0 ， 即 f ( x ) 在 [ － 1 ，－23) 上為增函數(shù)． 當(dāng) x ? ( －23， 1) 時(shí)， f ′ ( x )0 ， 即 f ( x ) 在 ( －23， 1) 上為減函數(shù)． 當(dāng) x ? [1,2] 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ，即 f ( x ) 在 (1,2] 上為增函數(shù)． 又 f ( －23) ＝2227＋ d ， f (2) ＝ 2 ＋ d ， ∴ f (2) ＝ 2 ＋ d f ( －23) ＝2227＋ d ， ∴ 當(dāng) x ? [ － 1,2] 時(shí)， f ( x )ma x＝ 2 ＋ d ，又 x ? [ － 1 ,2] 時(shí)， f ( x )2 d2－ 1 恒成立． ∴ 2 ＋ d 2 d2－ 1 ， 解 之得 d － 1 或 d 32， 故 d 的取值范圍是 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (32，＋ ∞ ) ． 構(gòu)建答題模板 第一步 ： 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形如不等式 f ( x ) ≥ a ( 或 f ( x ) ≤ a )恒成立的問(wèn)題． 第二步 ： 求函數(shù) f ( x ) 的最小值 f ( x ) m in 或 f ( x ) 的最大值 f ( x ) m ax . 第三步 ： 解不等式 f ( x ) m in ≥ a ( 或 f ( x ) m ax ≤ a ) ． 第四步 ： 明確規(guī)范地表述結(jié)論． 第五步 ： 反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及規(guī)范 解 答．如本題重點(diǎn)反思每一步轉(zhuǎn)化的目標(biāo)及合理性，最大或最小值是否正確． 高考數(shù)學(xué) 解 答題雖然具有較強(qiáng)的知識(shí)綜合性，思維的靈活性，但所考查的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，基本數(shù)學(xué)思想是不變的，題目形式的設(shè)置是相對(duì)穩(wěn)定的，因而本講結(jié)合近幾年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)題型，通過(guò)對(duì)答題思路的分 析、梳理，構(gòu)建了幾類重點(diǎn)題型的 “ 答題模板 ” ，目的是給考生在考前一個(gè)回顧如何規(guī)范思維，如何有效答題的輔助材料．重點(diǎn)是思維過(guò)程、規(guī)范 解 答和反思回顧，結(jié)合著具體題型給出了具有可操作性的答題程序．希望能夠舉一反三，對(duì)考生答題有所幫助．
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