有限元法基礎-10平板彎曲問題(編輯修改稿)
2024-09-03 10:51 本頁面
【文章內容簡介】 對稱性取四分之一板計算 Kirchhoff板單元 有限元法基礎 22 例 :載荷作用下方形薄板 , 利用對稱性取四分之一板計算 注：由于是非協(xié)調元，位移解并補滿足下界條件 Kirchhoff板單元 有限元法基礎 23 三 . 3節(jié)點三角形非協(xié)調板單元 ?共有 3 3＝ 9個 DOF ?三次完備多項式 i j m ,iii x i y iy i x iwwww???? ???? ????? ? ? ?? ? ? ??????q ( , , )i j m2 2 3 2 2 3( 1 , , , , , , , , , )w w x y x x y y x x y x y y?10項 Kirchhoff板單元 有限元法基礎 24 ?插值函數(shù) 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 27 8 9( ) ( ) ( )i j m j m m i i jj m m j m i i m i j j iw L L L L L L L L LL L L L L L L L L L L L? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?面積坐標 剛體位移 常應變 Kirchhoff板單元 有限元法基礎 25 ?坐標變換 ?代入節(jié)點坐標求出系數(shù)，得到形函數(shù) i i i ij j j jm m m mL a b x c yL a b x c yL a b x c y? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??i i j j m mi i j j m mx L x L x L xy L y L y L y? ? ???? ? ? ???[ , , ] , , [ , , ]Te i j m i j m i i x i y iw N N N??? ? ???N q N N N q q q N Kirchhoff板單元 有限元法基礎 26 ?位移插值函數(shù)的特點 a) 插值函數(shù)包含有完備的線性項和二次項，能正確反映剛體位移和常應變； b) 在單元邊界上， w是三次變化，可由兩端節(jié)點的 w 和 w,s唯一確定， w是協(xié)調的； c) 在單元邊界上， w,n是二次變化的 ,不能由兩端節(jié)點的 w,n確定， w,n是非協(xié)調的。 Kirchhoff板單元 有限元法基礎 27 ? Irons等已證明如果單元網(wǎng)格是由 3組等間距直線產生的，單元能夠通過補片試驗，并收斂于解析解。 Kirchhoff板單元 有限元法基礎 28 3節(jié)點三角板元 四 .協(xié)調單元 ?思路：在邊界 (如 ij)上尋找校正函數(shù) ，具有性質 1）在全部邊界上 2）在 jm,im 邊上 3) 在 ij 上 ，按二次變化，且在中點上取 1 單元邊界上 w,n 二次變化 非協(xié)調元 ij?0ij? ?0ij n?? ? ?0ij n?? ? ? Kirchhoff板單元 有限元法基礎 29 ?插直函數(shù) w是非協(xié)調元的產值函數(shù) , 為待定常數(shù)。 目的 ：調整 使在單元邊界中點處的 w,n等于兩端節(jié)點的 w,n 的平均值 ， 也即使得邊界上法向導數(shù)線性化 ，可由兩端點的值唯一確定 。 1 2 3ij jm m iww ? ? ? ? ? ?? ? ? ?i?i? Kirchhoff板單元 有限元法基礎 30 ? 的確定 ?線性化要求，在邊界中點處 i? 456ewnwnwn??????? ? ?????????????????????????????????????Zq456aaeawnwnwn?????????????????????????????????????????????Yq原插值函數(shù)計算出的各邊界中點值 原插值函數(shù)計算的邊界中點平均值 ee??Y q Z q ? ? ? e?Y Z Y q??? ?[]eei j j m m iw ? ? ?? ? ?N q Y Z q Kirchhoff板單元 有限元法基礎 31 ?校正函數(shù) 可以驗證以上函數(shù)滿足校正函數(shù)的要求，即在全部邊界上等于零，在 im和 jm邊法向導數(shù)為零，在 ij邊上 二次變化。 令 2 2 2 2 ( 1 )( ) ( )
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