有限元基礎(chǔ)課程學習總結(jié)(編輯修改稿)
2025-07-21 03:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （），稱為單元的插值函數(shù)或形函數(shù)，對于當前情況，它是坐標的一次函數(shù)，其中的是常數(shù)，取決于單元的3個節(jié)點坐標。 利用最小位能原理建立有限元方程對于離散模型，系統(tǒng)總位能的離散公式 （）將結(jié)構(gòu)總位能的各項矩陣表達成各個單元總位能的各對應(yīng)項矩陣之和，隱含著要求單元各項矩陣的階數(shù)（即單元的節(jié)點自由度數(shù)）和結(jié)構(gòu)各項矩陣的階數(shù)（即結(jié)構(gòu)的節(jié)點自由度數(shù)）相同。為此需要引入單元節(jié)點自由度和結(jié)構(gòu)節(jié)點自由度的轉(zhuǎn)換矩陣G，從而將單元節(jié)點位移列陣用結(jié)構(gòu)結(jié)點位移列陣表示，即 （） 則離散形式的總位能可表示為 （）由于離散形式的總位能的未知變量是結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移，根據(jù)變分原理，泛函取駐值的條件是它的一次變分為零，d P p＝0，這樣就得到有限元的求解方程 （）其中 （）和分別稱之為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)點載荷列陣。它們都是有單元敢賭矩陣和單元等效結(jié)點載荷列陣集合而成。需要注意，將單元剛度矩陣和單元等效結(jié)點載荷列陣集成為結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)等效載荷列陣時，實際執(zhí)行的并不是如（）式所示需通過轉(zhuǎn)換矩陣G的運算，而是將單元矩陣或列陣的元素直接“對號入座”，疊加到結(jié)構(gòu)矩陣或列陣而成。以上表述的是基于彈性力學最小位能原理形成的有限元求解方程的一般原理。 引入位移邊界條件最小位能變分原理是具有附加條件的變分原理，它要求場函數(shù)滿足幾何方程和位移邊界條件。現(xiàn)在離散模型的近似場函數(shù)在單元內(nèi)部滿足幾何方程，因此由離散模型近似的連續(xù)體內(nèi)幾何方程也是滿足的。但是在選擇場函數(shù)的試探函數(shù)（多項式）時，卻沒有提出在邊界上滿足位移邊界條件的要求，因此必須將這個條件引入有限元方程，使之得到滿足?？梢砸脒吔鐥l件的方法有直接代入法、對角元素改1法和對角元素乘大數(shù)法。直接代入法要重新組合方程，組成的新方程階數(shù)降低了，但結(jié)點位移的順序性已被破壞，這給編制程序帶來了一些麻煩；對角元素改1法引入強制邊界條件比較簡單，不改變原來方程的階數(shù)和結(jié)點未知量的順序編號。但這種方法只能用于給定零位移；對角元素乘大數(shù)法使用簡單，對任何給定位移（零值或非零值）都適用。采用這種方法引入強制邊界條件時方程階數(shù)不變，結(jié)點位移順序不變，編制程序十分方便，因此在有限元法中經(jīng)常采用。 廣義坐標有限元法一般格式 廣義坐標有限元位移模式的選擇和插值函數(shù)的構(gòu)造1. 選擇廣義坐標有限元位移模式的一般原則（1）廣義坐標的個數(shù)應(yīng)與單元結(jié)點自由度數(shù)相等，否則待定廣義坐標b無法以單元結(jié)點位移來表示。例如，3結(jié)點三角形單元有6個自由度，因此其廣義坐標個數(shù)只能是6，每個方向3個。（2）多項式中常數(shù)項和坐標的一次項必須完備，目的是確保所選位移模式能反映單元的剛體位移和常應(yīng)變特性。 （3）多項式選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完全多項式。對于平面問題： 零次完全多項式： x0，y0 一次完全多項式： x, y 二次完全多項式： x2, xy, y2 三次完全多項式： x3, x2y, xy2, y3 若由于項數(shù)限制不能選取完全多項式時，選擇的多項式應(yīng)具有坐標對稱性。且一個方向的次數(shù)不應(yīng)超過完全多項式的次數(shù)。如二次：xy；三次：x2y，xy2。2. 建立廣義坐標有限元位移插值函數(shù)的一般步驟（1）假設(shè)位移模式；（2）將各結(jié)點坐標代入，得到關(guān)于廣義坐標的線性方程組，從而求出廣義坐標；（3）將廣義坐標b回代入一般位移模式中得到由單元結(jié)點位移列陣所表示的位移模式；（4）由位移模式，由矩陣形式的幾何方程，求導(dǎo)數(shù)可得到應(yīng)變矩陣B，即ae=（5）由矩陣形式的物理方程，則彈性矩陣乘以應(yīng)變向量，得。 彈性力學問題有限元分析的執(zhí)行步驟在根據(jù)問題的類型和性質(zhì)選定了單元的形式，并構(gòu)造了它的插值函數(shù)以后，可按以下步驟對問題進行有限元分析。（1）對結(jié)構(gòu)進行離散。按問題的幾何特點和精度要求等因素劃分單元并形成網(wǎng)格，既將原來的連續(xù)體離散為在結(jié)點處互相聯(lián)結(jié)的有限單元組合體。（2）形成單元的剛度矩陣和等效結(jié)點載荷列陣。單元剛度矩陣的一般形式為
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