【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ??????????????????JJJ求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t xyxy?????????????????????????J雅可比矩陣： 1131 2 4223331 2 444xyNN N NxyxyNN N Nxy? ? ? ?? ? ? ????? ? ???????? ? ? ???????? ? ?????? ? ? ????? ??J( , ) ( , ) e? ? ? ??X N x23 等參單元 1 1 1 11 1 1 1( ( , ) , ( , ) ) ( ( , ) , ( , ) )( , ) ( , ) ( , )TeTeSx y x y h dx dyh d d d d? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?K B D BB D B J F J單元?jiǎng)偠染仃? 二次函數(shù) csV VetfqNqNf ????? ???dd TT單元載荷向量 ? 借助于等參元可以對(duì)于一般的任意幾何形狀的工程問(wèn)題 方便地進(jìn)行有限元離散 。 ? 等參元的插值函數(shù)是用自然坐標(biāo)給出的，等參元的一切計(jì)算都是在自然坐標(biāo)系中規(guī)格化的母單元內(nèi)進(jìn)行， 相關(guān)運(yùn)算大大簡(jiǎn)化 。 ? 不管各個(gè)積分形式的矩陣的被積函數(shù)如何復(fù)雜，都可以 采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法計(jì)算 ，從而使工程問(wèn)題的有限元分析納入了統(tǒng)一的通用化程序。 等參單元 25 等參單元 四邊形等參單元形狀要求 不能有重節(jié)點(diǎn) 不能出現(xiàn)內(nèi)角大于 180o的情況 內(nèi)角最好介于 30o150o之間（有限變形的情況） 避免出現(xiàn) 1 iii iNNxN Ny????????????? ??? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ???? ??J幾何意義所在 |J|0 (area cannot be transformed to a line or a point or turned inside out!) 例子 xyxy?????????????????????????J例子 幾何意義所在 ? 回顧 |J| ? 節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換 30 數(shù)值積分 ? 計(jì)算剛度矩陣及等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣的元素時(shí)，往往涉及到復(fù)雜函數(shù)的定積分，在有限元分析中廣泛采用數(shù)值積分方法。 ? 數(shù)值積分方法是一種近似的方法。 一個(gè)函數(shù)的定積分可以通過(guò) n個(gè)結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值的加權(quán)組合來(lái)表示 1111TTee e e e ed V h d d??? ? ???? ? ?K B D B B D B J1( ) ( )nbiiaif d A f? ? ??? ??31 數(shù)值積分 梯形公式 ? ?( ) ( ) ( )2ba baf x d x f a f b????y x a b 線性函數(shù)得到精確積分值 32 數(shù)值積分 Simpson公式 y x a b ( ) ( ) 4 ( ) ( )62bab a a bf x d x f a f f b????? ? ??????二次函數(shù)得到精確積分值 33 數(shù)值積分 Gauss積分 ? 高斯積分方法預(yù)先定義了積分點(diǎn)和相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)，求出被積分的函數(shù)在指定積分點(diǎn)上的數(shù)值，加權(quán)后求和，就得到了該函數(shù)的積分。 ? 高斯積分方法具有最高的計(jì)算精度。采用 n個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分可以達(dá)到 2n1階的精度，也就是說(shuō)，如果被積分的函數(shù)是 2n1次多項(xiàng)式，用 n個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分可以得到精確的積分結(jié)果。 )()d(111 jjmjfwfI ??? ????? ??1111 11( , ) d d ( , )yx nni j i jijI f w w f? ? ? ? ? ????? ???? ????34 數(shù)值積分 m ?j wj Accuracy n 1 0 2 1 2 1/?3, 1/?3 1, 1 3 3 ?, 0, ? 5/9, 8/9, 5/9 5 4 , , , , , , 7 5 , , 0, , , , , , 9 6 , , , , , , , , , , 11 35 數(shù)值積分 等參元中積分階次的選擇 ? 積分階次的選擇直接影響計(jì)算的精度和計(jì)算工作量。 ? 積分階次的選擇必須保證積分的精度。（完全精確積分） ? 很多情況下，實(shí)際選取的高斯積分點(diǎn)數(shù)低于精確積分的要求，往往可以取得較完全精確積分更好的精度。 （減縮積分） 線性單元 完全精確積分 減縮積分 36 節(jié)點(diǎn)位移和約束反力 通過(guò)求解平衡方程即可解出全部未知的節(jié)點(diǎn)位移： 約束反力 把解出的 d代入未經(jīng)修改的平衡方程，即可得到約束反力： 關(guān)于上述方程的解算方法，一般不采用求逆的方法求解，而是直接采用 高斯消元法等求解線性方程組的方法求解 求解。 施加邊界條件后，得到修改后的平衡方程 fdK ?~ (未約化的 ) fKd 1?? ~fKd ?37 應(yīng)力處理 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?*1 1 1 2 2 3 3 4 4*2 1 1 2 2 3 3 4 4*3 1 1 2 2 3 3 4 4*4 1 1 2 2 3 3 4 411, , , , , ,3311, , , , , ,3311, , , , , ,3311, , , , , ,33N N N NN N N NN N N NN N N N? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ?????σ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σ3σ*3σ*1σ*4σ*2σ1σ2σ4σ*1 1*2 2*3 3*4 43 1 31 , , 12 2 2a b c bb a b cc b a bb c b aa b c???? ?????? ??? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ?σ σσ σσ σσ σ38 例題 (0,0)A(0, 2)B ?(4,0)D(4, 1)C ?1F??考慮一個(gè)平面應(yīng)力問(wèn)題如圖所示 ， 假設(shè)厚度 h=1， 材料為各項(xiàng)同性 ， 楊氏模量為 E=1， 泊松比為 ν=0， 相關(guān)力和位移邊界條件如圖中所示 ， 問(wèn)題左端為固定約束 。 試用一個(gè)四邊形單元分析此問(wèn)題 ， 四邊形單元的網(wǎng)格劃分如圖所示 。 試求問(wèn)題各節(jié)點(diǎn)位移 u、 v和應(yīng)力 σx， σy和 σxy。 413239 例題 )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(414413412411????????????????????NNNN對(duì)于四邊形單元，其等參元形函數(shù)的表達(dá)式為： 111(1 )41(1 )4NN??????? ?????? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???????? ? ???221(1 )41(1 )4NN??????? ????? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???????? ? ???331(1 )41(1 )4NN??????? ????? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??????? ? ???441(1 )41(1 )4NN??????? ?????? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??????? ? ??? 1 ( ? 1 , ? 1) 2 (1 , ? 1) 3 (1 , + 1 ) 4 ( ? 1 , + 1 ) ? ? ?41321 2 3 4 40 例題 選用全積分，四個(gè)積分點(diǎn)的等參坐標(biāo)分別為 ? ?1 2 3 4 0 . 3 9 4 3 0 . 3 9 4 3 0 . 1 0 5 7 0 . 1 0 5 7N N N N? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? 1 ( ? 1, ? 1) 2 (1, ? 1) 3 (1, +1) 4 ( ? 1, +1) ? ? ? 對(duì)于積分點(diǎn) 1 ? ?1 2 3 4 0 . 3 9 4 3 0 . 1 0 5 7 0 . 1 0 5 7 0 . 3 9 4 3N N N N? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???111 2 3 4221331 2 3 4442 0 .3 9 4 30 0 .8 9 4 3xyN N N NxyxyN N N Nxy? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???????? ? ? ??????? ????? ? ? ? ??????? ? ? ??? ??J? ?1 3 , 1 3??? ?1 3 , 1 3? ?1 3 , 1 3?? ?1 3 , 1 3?41 例題 12 0. 39 43 1. 78 860 0. 89 43??J11 0 ? ???? ????J 1 iii iNNxN Ny????????????? ??? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ???? ??J? ?1 2 3 4 0 . 1 1 0 2 0 . 2 2 0 5 0 . 0 2 9 5 0 . 1 3 9 8N N N Nx x x x? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ???? ?1 2 3 4 0 . 4 4 0 9 0 . 1 1 8 1 0 . 1 1 8 1 0 . 4 4 0 9N N N Ny y y y??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???1 02 0 05 0 95 0 98 00 09 0 81 0 81 0 09 09 02 81 05 81 95 09 98??????? ? ?? ? ? ???B42 例題 選用全積分，四個(gè)積分點(diǎn)的等參坐標(biāo)分別為 ? ?1 2 3 4 0 . 1 0 5 7 0 . 1 0 5