桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法(編輯修改稿)
2025-05-26 12:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 成（ E， A， L）。求： 1）節(jié)點 2位移 2）每根桿應(yīng)力 解： 1. 求出每個單元在總體坐標(biāo)下的剛度矩陣： 167。 二維桿單元 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 單元 1： 12 2245 ??? ml，??1111 TkTk ?? T????????????????????????????????????????????????????????????????111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT2211 vuvu167。 二維桿單元 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 單元 2： 23 2222135 ???? ml ，??22T22 TkTk ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT3322 vuvu167。 二維桿單元 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 2. 將單元 1， 2的剛度矩陣擴(kuò)大到系統(tǒng)規(guī)模（ 6階）疊加得到總剛度矩陣，再列出系統(tǒng)平衡方程： 167。 二維桿單元 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 3. 引入邊界約束和載荷： 則上面 6階有限元方程凝聚為： ???????????????????212220022 PPvuLEA4. 解出未知位移： ?????????????2122PPEALvu167。 二維桿單元 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 5. 按公式計算桿應(yīng)力： 得到： ? ? )(220011112221211 PPAPPEALLE????????????????????? ? )(220011112221212 PPAPPEALLE????????????????????167。 二維桿單元 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 平面內(nèi)一般梁單元 簡單梁單元 （ 彎曲變形 ） 三維空間梁單元簡介 結(jié)構(gòu)總剛度矩陣及其性質(zhì) 梁單元的單元特性 梁單元的單元剛度矩陣 離散結(jié)構(gòu)的整體分析 平面剛架的整體分析 單元與節(jié)點 局部坐標(biāo)系下的平面梁單元 單元剛度矩陣的坐標(biāo)變換 三維空間梁單元剛度矩陣 梁單元和平面剛架 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 一、離散化，節(jié)點位移與節(jié)點載荷 ? 對圖 (a)直梁，根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷情況，分為 3段，每段為一個單元。單元之間和端點是節(jié)點。梁單元節(jié)點的物理模型是 “ 焊接 ” 。 if i?? 梁上任一節(jié)點 i處有 2個位移分量： 撓度 及轉(zhuǎn)角 。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 一個節(jié)點位移用列陣表示為： ? ? ? ? Tiiiii ff ??? ????????? ?i? 稱為節(jié)點 i的 節(jié)點位移 。 ? 對應(yīng)節(jié)點位移分量，梁上任一節(jié)點 i的載荷也有 2項： 橫向力 和彎矩 ，稱為 廣義力 。 iZ iM第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 ? 梁上若有分布載荷，可近似地等效到節(jié)點上。 ? ?iQ 稱為節(jié)點 i的節(jié)點載荷。 ? ? ? ?Tiiiii MZMZQ ????????結(jié)構(gòu)上一個節(jié)點的載荷用列陣表示為： 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 二、單元特性分析 —— 建立簡單梁單元的單元剛度方程 ? 單元有 2個節(jié)點，節(jié)點局部編號： i， j 。每節(jié)點有 2個位移分量，單元共有 4個位移分量 —— 4個自由度； ? 分析一個從上述離散梁結(jié)構(gòu)中取出的典型梁單元 e。單元長度 l，彈性模量 E，截面慣性矩為 J。 ? 單元的描述 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 ? ? ? ?Tjjiie ff ??? ?稱為單元 e的單元節(jié)點位移列陣（向量）。 ??e?? 單元節(jié)點位移 ： ? 結(jié)構(gòu)中一個單元一般在 節(jié)點處 的截面上要受到結(jié)構(gòu)其它部分對該單元的作用力，稱為 單元節(jié)點力 。該單元每節(jié)點 2個節(jié)點力分量：剪力 q，彎矩 m（分別與節(jié)點的 2個位移分量對應(yīng)）。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 ? 注意： 1) 如圖所示，節(jié)點位移和節(jié)點力分量的正方向與單元局部坐標(biāo)軸正方向一致。因此，節(jié)點力正方向與材料力學(xué)中內(nèi)力正方向的定義不同！ 2) 節(jié)點力是梁中的內(nèi)力；節(jié)點載荷是梁結(jié)構(gòu)在節(jié)點上受到的外力。 ? ? ? ?Tjjiie mqmqp ?稱為單元 e的單元節(jié)點力列陣（向量）。 ? ?ep單元節(jié)點力： 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 ? 單元特性的建立 ? 與桿單元類似，一個梁單元的變形是由節(jié)點位移決定的，對于一個受力平衡的單元，一定的節(jié)點位移總是與一定節(jié)點力相聯(lián)系，這個關(guān)系就是單元的特性（剛度特性）。 ? 下面根據(jù)材料力學(xué)和單元剛度矩陣元素物理意義建立梁單元特性。 在彈性、小變形前提下，顯然，單元保持平衡時節(jié)點力和節(jié)點位移之間有線性關(guān)系： ?????????????????????????????????????????jjiijjiiffaaaaaaaaaaaaaaaamqmq??44434241343332312423222114131211?簡記為： ? ? ? ? ? ?eee kp ??第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 上式就是梁單元的剛度方程。 稱為單元剛度矩陣，其中每個元素都是常數(shù)。 ??ek為了求剛度矩陣元素，在上式中假設(shè)： ?????????????????????????????00014321uuuu?????????????????????????????413121114321aaaassss方便起見，節(jié)點力和節(jié)點位移分量用新的符號表示，剛度方程為 ： ?????????????????????????????????????????4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss（這里 1， 2， 3， 4是單元自由度序號） 第 1列剛度元數(shù)就是第 1個節(jié)點位移分量為 1，其他位移分量皆為 0時所有節(jié)點力分量。 剛度方程 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 按上述物理意義求剛度矩陣元素： ? ????????????????0001e??????????????????????????????413121114321aaaassss按材料力學(xué)懸臂梁變形公式求節(jié)點力如下： 撓度： EJlsEJlsu23122311 ???轉(zhuǎn)角： EJlsEJlsu 2212 20 ????聯(lián)立解出： 21221131612alEJsalEJs????再由梁單元的靜力平衡
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