有限元分析理論基礎(chǔ)(編輯修改稿)
2025-07-20 23:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 似解的性質(zhì)。假定位移函數(shù)就相當于給單元施加了約束條件，使單元變形服從所加約束，這樣的替代結(jié)構(gòu)比真實結(jié)構(gòu)更剛一些。但是，這種近似結(jié)構(gòu)由于允許單元分離、重疊，使單元的剛度變軟了，或者形成了（例如板單元在單元之間的繞度連續(xù)，而轉(zhuǎn)角不連續(xù)時，剛節(jié)點變?yōu)殂q接點）對于非協(xié)調(diào)單元，上述兩種影響有誤差相消的可能，因此利用非協(xié)調(diào)單元有時也會得到很好的結(jié)果。在工程實踐中，非協(xié)調(diào)元必須通過“小片試驗后”才能使用。應力的單元平均或節(jié)點平均處理方法最簡單的處理應力結(jié)果的方法是取相鄰單元或圍繞節(jié)點各單元應力的平均值。? 這種方法最常用于3節(jié)點三角形單元中。這種最簡單而又相當實用的單元得到的應力解在單元內(nèi)是常數(shù)?？梢詫⑵淇醋魇菃卧獌?nèi)應力的平均值，或是單元形心處的應力。由于應力近似解總是在精確解上下振蕩，可以取相鄰單元應力的平均值作為此兩個單元合成的較大四邊形單元形心處的應力。如2單元的情況下，取平均應力可以采用算術(shù)平均，即平均應力=（單元1的應力+單元2的應力）/2。也可以采用精確一些的面積加權(quán)平均，即平均應力=[單元1應力 單元1的面積+單元2應力 單元2面積]/（單元1面積+單元2面積）當相鄰兩單元面積相差不大時，兩者的結(jié)果基本相同。在單元劃分時應避免相鄰兩單元的面積相差太多，從而使求解的誤差相近。一般而言，3節(jié)點三角形單元的最佳應力點是單元的中心點，此點的應力具有1階的精度。? 首先計算圍繞該節(jié)點（i）周圍的相關(guān)單元在該節(jié)點出的應力值 ，然后以他們的平均值作為該節(jié)點的最后應力值 ，即其中，1~m是圍繞在i節(jié)點周圍的全部單元。取平均值時也可進行面積加權(quán)。有限元法求解問題的基本步驟對整個結(jié)構(gòu)進行離散化，將其分割成若干個單元，單元間彼此通過節(jié)點相連； [K](e)[K](e)是由單元節(jié)點位移量{Φ}(e)求單元節(jié)點力向量{F}(e)的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e)[K]并寫出總體平衡方程：總體剛度矩陣[K]是由整體節(jié)點位移向量{Φ}求整體節(jié)點力向量 的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為{F}= [K] {Φ}，此即為總體平衡方程。 ，求出各節(jié)點的位移節(jié)點的支撐條件有兩種：一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為零，另一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為一給定值。 對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為:(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點序號和相應的邊界值。(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。(4)單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件， 一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數(shù)值。單元剛度矩陣的特性 單元剛度矩陣無論在局部坐標系中還是在整體坐標系中都具
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