有限元分析理論基礎(chǔ)(編輯修改稿)
2025-07-20 23:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 似解的性質(zhì)。假定位移函數(shù)就相當(dāng)于給單元施加了約束條件，使單元變形服從所加約束，這樣的替代結(jié)構(gòu)比真實(shí)結(jié)構(gòu)更剛一些。但是，這種近似結(jié)構(gòu)由于允許單元分離、重疊，使單元的剛度變軟了，或者形成了（例如板單元在單元之間的繞度連續(xù)，而轉(zhuǎn)角不連續(xù)時(shí)，剛節(jié)點(diǎn)變?yōu)殂q接點(diǎn)）對(duì)于非協(xié)調(diào)單元，上述兩種影響有誤差相消的可能，因此利用非協(xié)調(diào)單元有時(shí)也會(huì)得到很好的結(jié)果。在工程實(shí)踐中，非協(xié)調(diào)元必須通過“小片試驗(yàn)后”才能使用。應(yīng)力的單元平均或節(jié)點(diǎn)平均處理方法最簡(jiǎn)單的處理應(yīng)力結(jié)果的方法是取相鄰單元或圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng)力的平均值。? 這種方法最常用于3節(jié)點(diǎn)三角形單元中。這種最簡(jiǎn)單而又相當(dāng)實(shí)用的單元得到的應(yīng)力解在單元內(nèi)是常數(shù)?？梢詫⑵淇醋魇菃卧獌?nèi)應(yīng)力的平均值，或是單元形心處的應(yīng)力。由于應(yīng)力近似解總是在精確解上下振蕩，可以取相鄰單元應(yīng)力的平均值作為此兩個(gè)單元合成的較大四邊形單元形心處的應(yīng)力。如2單元的情況下，取平均應(yīng)力可以采用算術(shù)平均，即平均應(yīng)力=（單元1的應(yīng)力+單元2的應(yīng)力）/2。也可以采用精確一些的面積加權(quán)平均，即平均應(yīng)力=[單元1應(yīng)力 單元1的面積+單元2應(yīng)力 單元2面積]/（單元1面積+單元2面積）當(dāng)相鄰兩單元面積相差不大時(shí)，兩者的結(jié)果基本相同。在單元?jiǎng)澐謺r(shí)應(yīng)避免相鄰兩單元的面積相差太多，從而使求解的誤差相近。一般而言，3節(jié)點(diǎn)三角形單元的最佳應(yīng)力點(diǎn)是單元的中心點(diǎn)，此點(diǎn)的應(yīng)力具有1階的精度。? 首先計(jì)算圍繞該節(jié)點(diǎn)（i）周圍的相關(guān)單元在該節(jié)點(diǎn)出的應(yīng)力值 ，然后以他們的平均值作為該節(jié)點(diǎn)的最后應(yīng)力值 ，即其中，1~m是圍繞在i節(jié)點(diǎn)周圍的全部單元。取平均值時(shí)也可進(jìn)行面積加權(quán)。有限元法求解問題的基本步驟對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，將其分割成若干個(gè)單元，單元間彼此通過節(jié)點(diǎn)相連； [K](e)[K](e)是由單元節(jié)點(diǎn)位移量{Φ}(e)求單元節(jié)點(diǎn)力向量{F}(e)的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e)[K]并寫出總體平衡方程：總體剛度矩陣[K]是由整體節(jié)點(diǎn)位移向量{Φ}求整體節(jié)點(diǎn)力向量 的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為{F}= [K] {Φ}，此即為總體平衡方程。 ，求出各節(jié)點(diǎn)的位移節(jié)點(diǎn)的支撐條件有兩種：一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為零，另一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為一給定值。 對(duì)于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為:(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。(4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件， 一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦?單元?jiǎng)偠染仃嚐o論在局部坐標(biāo)系中還是在整體坐標(biāo)系中都具
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