1675-對角矩陣(編輯修改稿)
2025-09-01 19:16 本頁面
【文章內容簡介】 ??? ?又因為 1 0,k? ? ? 所以有 1 ? ?從而 11 0,kka a a ?? ? ? ?故 12, , , k? ? ?線性無關 . 根據(jù)歸納法原理，定理得證 . 上頁 下頁 返回 結束 推論 1 如果在 n維線性空間 V中，線性變換 A的特征多項 式在數(shù)域 P中有 n個不同的根，即 A 有 n個不同的特征 值，則 A 在某組基下的矩陣是對角形的 . 推論 2 在復數(shù)域上的線性空間中，如果線性變換 A 的特 征多項式沒有重根，則 A 在某組基下的矩陣是對角形 的 . 證明： 由定理 8立得 . 證明： 由復數(shù)域上任一個 n次多項式都有 n個根， 及推論 1立得 . 上頁 下頁 返回 結束 定理 9 如果 12, , , k? ? ?是線性變換 A 的不同的特征值， 而 1 , ii ir??是屬于特征值 i? 的線性無關的特征向量， 1 , 2 , , ,ik? 則 11 1 1 1, , , , , , kr k k r? ? ? ?也線性無關 . 證明： 與定理 8證明相類似，注意兩點： （ 1） 對 k用數(shù)學歸納法； （ 2）等式兩邊先用 A作用，再用 1k?? 乘以等式兩 端，比較兩個等式即可用歸納假設 . 上頁 下頁 返回 結束 注 1 對于一個線性變換，求出屬于每個特征值 的線性無關的特征向量，把它們合在一起還是線性無 關的 .即 設 A 的所有兩兩不同的特征值分別為 12, , , ,s? ? ?
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