【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (100201tuttxtxxxxdutxxttxttt??????????????? ???????????????????? ?????????????????????? ? ???利用上式，消去中間變量 t，可導(dǎo)出 x1和 x2的關(guān)系為： )(21)(21)( )(22202022 tuxtuxxtx t??? 1)( ??tu其在 X1， X2平面上為一組拋物線 如圖： u=+1為實(shí) u=1為虛 X1 X2 B A u=+1 u=1 ⑸確定開關(guān)曲線：使系統(tǒng)狀態(tài)直接回到末端狀態(tài)的曲線AO和 BO 總的開關(guān)曲線： AOB 顯然： ? ?? ?? ?????????????????????????????xxxxxxxxxxxxxxxA O BAOBO2212122212122212121,0,21,0,21,AOB將狀態(tài)平面分為兩部分 和 R? R?顯然： ? ?? ?????????????????????xxxxxRxxxxxR2212,12212,12121X1 X2 B A O u=1 R?R?⑹確定最優(yōu)控制作用 u* u*與初始狀態(tài) 有關(guān) ??????0201xx分析： ①若 位于 BO上，則 u*= +1； ②若 位于 AO上，則 u*= 1； ③若 位于 內(nèi)，則 u*=[ 1， +1]； ④若 位于 內(nèi)，則 u*=[ +1， 1]； ? ?02,01 xx? ?02,01 xx? ?02,01 xx ?R? ?02,01 xx ?R③④在開關(guān)曲線上為轉(zhuǎn)折點(diǎn) 例 3：升降機(jī)的快速降落問題： 設(shè)有一升降機(jī) W，它的質(zhì)量為 1，升降機(jī)一方面 受重力 g的作用，另一方面受控制器的作用力 u(t)的作用，且 （ M＞ g是常數(shù)） 設(shè) x(t)為升降機(jī)離開地面的距離， 當(dāng) t= 時(shí)， [離地面距離 ] [垂直運(yùn)動(dòng)速度 ] ,)( Mtu ?t0xtxtxx020010)()(???問題：求 u*（ t） ,使升降機(jī)最快的到達(dá)地面，并且到達(dá)地面時(shí)的速度為零。 即： ??? t dtJ f t f0 最小， 自由 tf? ? 0?t fx ? ? 0?t fx?W u g X(t) 解：建立升降機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型， F=ma 即： Xdt xdgu t ????? 22)(令： )(2)(1ttxxxx???即： guxxx???221??02)0(201)0(1xxxx??00)(2)(1??ffttxx哈密頓函數(shù)： ? ?guxH ???? 2211 ??顯然，為了使 H為最小，則 ? ?2s g n* ?Mu ??即： ?????***uMuMu不確定 000)(2)(2)(2???ttt???協(xié)狀態(tài)方程： 即： 常數(shù) 12221?????????????xHxH??21211CtCC???????相應(yīng)于 的 4種可能， u*的取值有 4種可能 {+M}， {M}， {+M,M}， {M， +M} 因此，下面只研究 u=177。 M時(shí)升降機(jī)的狀態(tài)軌線 2?設(shè) u=M，則狀態(tài)方程為： … ① … ② ① /② ： 是一組拋物線， 圖中實(shí)線箭頭表示狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的方向 gMxxx???221??CgMxxgMxdxdx?????22122121在此族曲線中，只有 到達(dá)原點(diǎn)， ?r)(2:221 gMxxr????rr?設(shè) u=M，同理可得： 如圖虛線所示 CgMxx ????221 21只有 到達(dá)原點(diǎn)， ?r ?r)(2:221 gMxx???rrr ?? ?? 開關(guān)曲線 r將相平面分為兩部分，在 r下半部的記為 ，包括 在 r上半部的記位 ，包括 ??RR??rr∵ u*只取 +M或 M，切換最多一次，因此可得到結(jié)論： 〈 ⅰ 〉 初始狀態(tài) 在 上， 狀態(tài)沿 回原點(diǎn) ? ?xxx 02022 ,? r? Mu ?* r?〈 ⅱ 〉 當(dāng) 在曲線 上時(shí) ， 狀態(tài)沿 回原點(diǎn) 〈 ⅲ 〉 當(dāng) 時(shí)， 沿相應(yīng)的虛線拋物線運(yùn)動(dòng)到 時(shí)， 沿 回到原點(diǎn)。 ? ? Rxx ??0201 ,? ?xx 0201 , r? r?Mu ??*Mu ??* r? 馬上切換 r?Mu ??*〈 ⅳ 〉 當(dāng) 時(shí)， ，沿相應(yīng)的實(shí)拋物線運(yùn)動(dòng)到 時(shí)， ? ? Rxx ??0201 ,Mu ??* r?馬上切換 總之： ? ?? ?? ?????????????????????????????????xxxxxrrxxxxxRxxxxxR22121221212212121,21,21,Mu ??* ，沿 回到原點(diǎn)。 ?rR?R?Mu ??*Mu ??*Mu ??*Mu ??*r?r?對(duì)于實(shí)際問題升降機(jī)的分析： 它在地面之上， ∴ ，處于相平面的右半部分，且設(shè) 01 ?x020 ?xa〉 若 ，而 時(shí)狀態(tài)沿實(shí)拋物線運(yùn)動(dòng)與 軸交于 N ，這意味著升降機(jī)到達(dá)地面時(shí)，速度不為 0，不合要求。 Rx ??0 rx ??0)0( ?Nb 當(dāng) 即開始以最大推力向下最用， 使升降機(jī)盡快下降。當(dāng)其狀態(tài)檢測(cè)到達(dá) 時(shí)，馬上改變控制，使它以 的最大推力向上作用，這樣升降機(jī)將以速度 0到達(dá)地面。 ,*,0 MuRX ??? ??rMu ??*Mu ??*Mu ??*N r?從上例可以看出：快速最優(yōu)控制有如下特點(diǎn)： ⅰ u*要么最大，要么最小。 ⅱ u*的取值經(jīng)過有限的（ n1）次（可為最多次）數(shù)切換可到達(dá)平衡點(diǎn)。 ⅲ u*的取值僅在開管曲線上切換。 注意：時(shí)間最優(yōu)控制的應(yīng)用中，有些實(shí)際問題并不要求將相點(diǎn)控制到狀態(tài)空間原點(diǎn)，而是到某一集合，其分析方法與上類似 （若二階系統(tǒng)為一般的二階系統(tǒng)，特征值為實(shí)數(shù)時(shí)，分析方法類似；為復(fù)數(shù)或純虛數(shù)時(shí)，開關(guān)次數(shù)定理不成立，問題較為復(fù)雜，如無阻尼振蕩二階系統(tǒng)。 二、燃料最優(yōu)控制問題 節(jié)約能源，減少燃料消耗在國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門中都是一項(xiàng)重要的技術(shù)經(jīng)濟(jì)課題。在航空和宇航中使用的原料是由地面起飛時(shí)帶到空間去的。在空中攜帶的燃料是有限的，要保證長(zhǎng)時(shí)間的飛行計(jì)劃，就希望空中的控制系統(tǒng)消耗的燃料最小，而燃料的消耗一般是和控制力 u的大小成正比的。 U有正有負(fù)。因襲燃料消耗的性能指標(biāo) ： 也可以以升降機(jī)系統(tǒng)分析，只是 相應(yīng)于時(shí)間最優(yōu)控制，要求到達(dá)地于所用時(shí)間最小， 相應(yīng)于燃料最優(yōu)控制，要求達(dá)到目的地時(shí)所用燃料最小 dtuJ ft?? 0?? ft dtJ 0dtuJ ft?? 0數(shù)學(xué)描述 [以二階級(jí)分模型的燃料最優(yōu)控制為例 ] 系統(tǒng)： 約束： uxxx??221?? 1?u要求：系統(tǒng)從初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到（ 0， 0） 使 最小， 給定。 ? ?2022 , XXdtuJ ft?? 0 ft解：應(yīng)用極小值原理 uxuH221 ?? ??????????101*u1111222?????????? ?)(2* td e zu ???正常：僅在有限個(gè)點(diǎn)上 奇異：至少在一段時(shí)間 [t1， t2]間隔內(nèi) 1)(2 ?t?1)(2 ?t?正常： u*可取 +1， 1， 0隨著 t增大， u*在三個(gè)值上 切換，是一種三位控制 {開關(guān)控制 }。 奇異：不能用極小值，死區(qū)函數(shù)。 為使Ｈ為最小，則使 為最小 uu2??分析：①若ｕ＝＋１，則 若使Ｈ最小，則 ②若ｕ＝－１，則 若使Ｈ最小，則 ③若 ? ?u21 ??12 ???? ? ? ?uu 22 11 ?? ????12 ??? ?010112222??????????? uuu1122?????0* ?? u???????101*u1111222?????????由： 12221?????????????xHxH??21211CtCC?????? 和相應(yīng)的最優(yōu)控制 之間的關(guān)系： 2?,0fbbaatttttttt??????,1,1,1222???????1*0*1*?????uuu顯然，燃料最優(yōu)控制也是 開關(guān)式控制，控制器應(yīng)為 一個(gè)具有死區(qū)的繼電器。 *u+1 +1 +1 +1 1 1 1 1 tb ta tf at bt和 的計(jì)標(biāo) uxxx??221??當(dāng) 時(shí)， 1??u12212221 atatxatx????? Cxx ?? 221 21 相平面上一組拋物線［實(shí)線］ 當(dāng) 時(shí)， 1??u Cxx ??? 22121 相平面上一組拋物線［虛線］ 12