數(shù)學(xué)分析(二)知識點(diǎn)總結(jié)(編輯修改稿)
2024-09-01 07:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x 的乘積， ，即 dxxfxdUdU )()( ?? ],[C)( baxf ?其中，即 )()( xoxxfU ?????）。（此時， 以靜代動以簡代繁、以直代曲、。則 ?? ba dxxfU )( 解題步驟 是非常困難的。通常要驗(yàn)證 )()( xoxxfU ?????一般來說不是唯一的。中的且 )()()( xfxoxxfU ?????也不是唯一的。中的所以 )( )( xfdxxfU ba??平面圖形的面積 直角坐標(biāo) 參數(shù)方程 極坐標(biāo) 弧微分 弧長 旋轉(zhuǎn)體體積 旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積 ? 定積分應(yīng)用的常用公式 (1) 平面圖形的面積 xyo)( xfy ??? ba dxxfA |)(|xyo )(1 xfy ?)(2 xfy ?? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12A A直角坐標(biāo)情形 a b a b—— 上曲線減下曲線對 x積分。 yxOcdA x=f(y) （圖 5） x=g(y) ? ??dc dyygyfA )]()([—— 右曲線減左曲線對 y積分。 一般解題步驟： （ 1）畫草圖，定結(jié)構(gòu)； （ 2）解必要的交點(diǎn)，定積分限； （ 3）選擇適當(dāng)公式，求出面積（定積分）。 注意：答案永遠(yuǎn)為正。 如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 ?????)()(tytx??曲邊梯形的面積 ? ?? 21)()(tt dtttA ??（其中 1t 和 2t 對應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值）在 [ 1t , 2t ] （或 [ 2t , 1t ] ）上 )( tx ?? 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)( ty ?? 連續(xù) .參數(shù)方程所表示的函數(shù) ?? ?? ??? dA 2)]([21xo??d?)(???r ??xo)(2 ???r)(1 ???r? ?? ?? ????? dA )]()([21 2122極坐標(biāo)情形 (2) 體積 x dxx? x y o dxxfV bax 2)]([?? ?dyyV dcy 2)]([????xyo)( yx ??cddxxxfV bay )(2 ?? ?dyyyV dcx )(2 ????xo??ba dxxAV )( x dxx?a b平行截面面積為已知的立體的體積 )(xA.si n)(320 ),(03 ??????????drVrr???????所成立體的體積為：繞極軸旋轉(zhuǎn)由)(?rr ?） ?） ?(3) 平面曲線的弧長 xoya bx dxx??dy弧長 dxys ba? ???21A．曲線弧為 ?????)()(tytx??)( ?? ?? t其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)弧長 dttts ? ???? ?? ?? )()( 22)( xfy ?B．曲線弧為 22 dydxds ??C．曲線弧為 )( ??? ??)(?rr ?弧長 ????? drrs ? ??? )()( 22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 x dxx? x y o )( xfy ?bxaxfy ???? ,0)(? ???? ba dxxfxfS )(1)(2 2側(cè)y d sdS ?2?(5) 變力所作的功 )(xFo a bx dxx ? x? ???????babadxxFdWW)((6) 液體壓力 xyoabxdxx ?)(xf????babadxxxfdPP)(?)( 為比重?(7) 引力 xyx dxx ?oAl? l? ?? ?? ???llll yyxadxGadFF2322 )(?.0?xF )( 為引力系數(shù)G(8) 函數(shù)的平均值 ??? ba dxxfaby )(1第 11章 一、兩類反常積分的概念 ? ??a dxxf )( ????? uau dxxf )(l i m?ba dxxf )( ???? buau dxxf )(lim ? ?? ?? ba dxxf?? )(l i m0? ???? dxxf )( ? ??? a dxxf )( ? ??? a dxxf )(當(dāng) ? ??a dxxf )( 和 ? ??a dxxf )( 都收斂 時， a為任意常數(shù) , 就 稱 ? ????dxxf )( 收斂 ； 如果 a,b都是瑕點(diǎn) ，則定義 ? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )( ， c為 (a,b)內(nèi)任一實(shí)數(shù)。 當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個積分都收斂時，才稱左端瑕積分收斂。 二、 計算方法 —— 求正常積分 +求極限； )0( ?? ?? axdxa p?????時，發(fā)散．當(dāng)時，收斂；當(dāng)11pp? ?ba pax dx )( ??? ? ?? 時，發(fā)散．當(dāng) 時，收斂；當(dāng) 1 10p p三、兩類反常積分的判斂方法 Cauchy準(zhǔn)則 ?? ?? 收斂 )(a dxxf 有,0 21 GuuaG ?????? ?.)(21??? uu dxxf有),(,0,0 21 ??? ??????? aauu.)(21??? uu dxxf?? 是瑕點(diǎn)）收斂（ adxxfba )(比較法則 ?? ?? baa dxxfdxxf 的斂散性，和用于判別 |)(||)(|通常取 p積分為比較對象，且常用極限形式。 Dirichelet判別法和 Abel判別法 用于判別兩個函數(shù)相乘時的反常積分的斂散性。 :)0(c o s s i n ??? ???? adxx xdxx x a pa p 的斂散性和時，發(fā)散。時，條件收斂；時，絕對收斂；0101????ppp四、絕對收斂與條件收斂 定積分： 可積，在可積在 ],[||],[ bafbaf ?無窮積分： . )( |)(| 收斂收斂 ?? ???? ? aa dxxfdxxf瑕積分： . )( |)(| 收斂收斂 ?? ? baba dxxfdxxf可積，在可積在 ],[||],[2 bafbaf ?. )( |)(| 2 收斂收斂 ?? ???? ? aa dxxfdxxf. |)(| )(2 收斂收斂 ?? ? baba dxxfdxxf. )( )(2 收斂收斂 ?? ???? ? aa dxxfdxxf第 12章 數(shù)項級數(shù) 正項級數(shù) 交錯級數(shù) 一般項級數(shù) ?? ?????????nnn uuuuu 3211? nn s??lim 存在 . ???????niinn uuuus121 ?收斂??? 1nnu有,0,
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