【文章內容簡介】 l l? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??顯然，方向余弦 l1,l2,l3將由式 (a)中的任意兩式和 l12+l22+l32=1所確定。 (a) 若設偏應力狀態(tài) 主方向的方向余弦為 l1’,l2’,l3’，則由式 ()同樣得： ijS39。 39。 39。1 2 339。 39。 39。1 2 339。 39。 39。1 2 3( ) 0( ) 0( ) 0x n x y x zy x y n y zz x z y z nS S l S l S lS l S S l S lS l S l S S l? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??顯然，方向余弦 l1’,l2’,l3’將由式 (b)中的任意兩式和 l1’2+l2’2+l3’ 2=1所確定。 (b) ( ) ( )x n x m n m x nSS ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?由于 : ( ) ( )y n y m n m y nSS ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?( ) ( )z n z m n m z nSS ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?l1=l1’。 l2=l2’ 。 l3= l3’ 可見式 (a)與式 (b)具有相同的系數，且已知 l12+l22+l32= l1’2+l2’2+l3’ 2=1 應力偏量張量 2).主偏量應力和不變量 11 。S ???? 22 。S ???? 33S ????() 偏應力狀態(tài) 的主方向與原應力狀態(tài) 的主方向一致 ,主值為 : ijS ij?滿足三次代數方程式： 32 1 2 339。 39。 39。 0J J J? ? ?? ? ? ?1 1 1 2 2 3 32 2 22 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 2 2 3 3 12 2 21 2 33 1 2 339。039。 ( )1()12239。iiij ijijJ S S SJ S S S S S S S S SS S SJ S S SSSSS? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???() 式中 J1’,J2’,J3’為不變量 () 應力偏量張量 () 利用 J1’=0， 不變量 J2’還可寫為 : 2 2 2 2 2 22 11 22 33 12 23 31139。 ( 2 2 2 )21212ij ij iiJ S S S S S SSS SS? ? ? ? ? ???() 2 2 22 11 22 22 33 33 112 2 212 23 312 2 22 2 22 2 21 2 2 3 3 1139。 [ ( ) ( ) ( )66( ) ]1[ ( )1[ ( ) ( ) (( ) ( )66())]]6x y y z z xx y y z zxJ S S S S S SS S S? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? 應力偏量張量 () 3).等效應力 (應力強度 ) 2 2 28 1 2 2 3 3 11 ( ) ( ) ( )3? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 22 1 2 2 3 3 1139。 [ ( ) ( ) ( ) ]6J ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?39。8223 J? ?在彈塑性力學中，為了使用方便，將 乘以系數 后，稱之為 等效應力 8?3/ 21 2 3, 0 ,? ? ? ? ??? ? ? ?故2 2 28 1 2 2 3 3 1 231 ( ) ( ) ( ) 3 39。22 J? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?() 簡單拉伸時 : “ 等效 ” 的命名由此而來。 各正應力增加或減少一個平均應力，等效應力的數值不變，這也說明等效應力與球應力狀態(tài)無關 應力偏量張量 () 4).等效剪應力 (剪應力強度 ) 2 2 22 1 2 2 3 3 11139。 ( ) ( ) ( )26 ij ijT J S S? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 30 , 0 , , T? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?例 ： 純 剪 時 ，“ 等效 ” 的命名由此而來。 例題： 已知結構內某點的應力張量如右式，試求該點的球形應力張量、偏量應力張量、等效應力及主應力數值。 1 0 0 1 00 1 0 0 M Pa1 0 0 1 0ij?????????????10 10 10 / 3 10 / 310 / 3 0 00 10 / 3 0 M Pa0 0 10 / 320 / 3 0 100 40 / 3::: 0 M Pa10 0 20 / 3mijS??? ? ? ??????????????????????????平 均 正 應 力球 形 應 力 張 量量（ ）偏 量 應 力 張解： 應力偏量張量 22 2 2 2 2 211 22 22 33 33 11 12 23 31339。1[ ( ) ( ) ( ) 6( ) ]21[ 40 0 40 0 0 6( 0 0 10 0) ] 70 0 10 7 M P a2J?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 3 32 2 22 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 2 2 3 3 12 2 23 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 210()( 10 0 10 0 10 0) 0 0 10 0 20 0| | 210 00 10 00 0 0 0ijJJJ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?等效應力 : 應力偏量張量 關于主應力的方程為 : 132231 0 2 0 0 0( 2 0 )2 0 , 0 , 1 0( 1 0 ) 0? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ??2 2 21 2 2 3 3 11[ ( ) ( ) ( ) ]21[ 40 0 10 0 90 0] 70 0 10 7 M Pa2? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?由主應力求等效應力 : 應力偏量張量 應變張量 1).一點應變狀態(tài) 位移 剛性位移 變形位移 物體內各點的位置雖然均有變化，但任意兩點之間的距離卻保持不變。 物體內任意兩點之間的相對距離發(fā)生了改變。 要研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需要研究物體內各點的相對位置變動情況，也即研究 變形位移 位移函數 ( , , )( , , )( , , )u u x y zv v x y zw w x y z???位置坐標的單值連續(xù)函數 應變張量 微小六面體單元的變形 當物體在一點處有變形時，小單元體的尺寸 (即單元體各棱邊的長度 )及形狀 (即單元體各面之間所夾直角 )將發(fā)生改變。 由于變形很微小，可以認為兩個平行面在坐標面上的投影只相差高階微量，可忽略不計。 應變張量 微小六面體單元的變形 B點位移分量 uu dxx???dxx?? ?? ?D點位移分量 uu d yy???dyy?? ?? ?A點位移分量 u?∠ xOy的改變量 : xy? ? ??? 應變張量 變形后 AB邊長度的平方 : 39。 39。 2 2 2( ) ( )uA B d x d x d xxx???? ? ?M點沿 X方向上的 線應變 : 39。39。xA B A BAB???39。39。 ( 1 ) ( 1 )xxA B A B d x??? ? ? ?(a) (b) 22222xxuux x x??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?(c) 代入 (a)得 : xux? ??? y y?? ???同理， M點沿 Y方向上的 線應變 : 應變張量 t a n1dxxxuudx dxxx????????? ? ???????同理 : 1,ux?? 略 去x?? ???uy????∠ xOy的改變量，即 剪應變 : xyuyx?? ? ? ??? ? ? ??? 應變張量 39。 122zuy?? ?? ? ? ?? ,uvyx???? 同 時 存 在12zuxy?? ????????????對角線 AC線的 轉角 : 122zv