【文章內(nèi)容簡介】 0。 平面上點P可以用極坐標(biāo)(ρ,θ)來確定,因此空間中的點P可用數(shù)組(ρ,θ,z)，空間的點P與數(shù)組(ρ,θ,z)之間的對應(yīng)關(guān)系是一一對應(yīng)關(guān)系,數(shù)組(ρ,θ,z)： 構(gòu)成柱面坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面分別為： ρ=常數(shù)：以z軸為對稱軸的同軸圓柱面族， θ=常數(shù)：通過z軸的半平面族， z =常數(shù)：與z軸垂直的平面族. 因此，每三個這樣的坐標(biāo)面確定著空間的唯一的一點，由于利用了圓柱面，所以稱為柱面坐標(biāo)。 柱面坐標(biāo)系下三重積分的計算公式為： 三 曲線積分與曲面積分167。 對弧長的曲線積分 一、 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: 設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上, 已知曲線形構(gòu)件在點(x, y)處的線密度為m(x, y). 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量. 把曲線分成n小段, Ds1, Ds2, , Dsn(Dsi也表示弧長)。 任取(xi , hi)206。Dsi, 得第i小段質(zhì)量的近似值m(xi , hi)Dsi。 整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為。 令l=max{Ds1, Ds2, , Dsn}174。0, 則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問題時也會遇到. 定義 設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧, 函數(shù)f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一點列M1, M2, , Mn1把L分在n個小段. 設(shè)第i個小段的長度為Dsi, 又(xi, hi)為第i個小段上任意取定的一點, 作乘積f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2, , n ), 并作和, 如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值l174。0, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即. 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 設(shè)函數(shù)f(x, y)定義在可求長度的曲線L上, 并且有界. 將L任意分成n個弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧長。 在每一弧段Dsi上任取一點(xi, hi), 作和。 令l=max{Ds1, Ds2, , Dsn}, 如果當(dāng)l174。0時, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即 . 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 曲線積分的存在性: 當(dāng)f(x, y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時, 對弧長的曲線積分是存在的. 以后我們總假定f(x, y)在L上是連續(xù)的. 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值, 其中m(x, y)為線密度. 對弧長的曲線積分的推廣: . 如果L(或G)是分段光滑的, 則規(guī)定函數(shù)在L(或G)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和. 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2, 則規(guī)定 . 閉曲線積分: 如果L是閉曲線, 那么函數(shù)f(x, y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作 . 對弧長的曲線積分的性質(zhì): 性質(zhì)1 設(shè)cc2為常數(shù), 則 。 性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2, 則 。 性質(zhì)3設(shè)在L上f(x, y)163。g(x, y), 則 . 特別地, 有 二、對弧長的曲線積分的計算法 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義, 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x, y), 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為 . 另一方面, 若曲線L的參數(shù)方程為x=j(t), y=y (t) (a163。t163。b),則質(zhì)量元素為 , 曲線的質(zhì)量為 . 即 . 定理 設(shè)f(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù), L的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t) (a163。t163。b), 其中j(t)、y(t)在[a, b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且j162。2(t)+y162。2(t)185。0, 則曲線積分存在, 且 (ab). 證明（略） 應(yīng)注意的問題: 定積分的下限a一定要小于上限b. 討論: (1)若曲線L的方程為y=y(x)(a163。x163。b), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=x, y=y(x)(a163。x163。b), . (2)若曲線L的方程為x=j(y)(c163。y163。d), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=j(y), y=y(c163。y163。d), . (3)若曲G的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a163。t163。b), 則=? 提示: . 例1 計算, 其中L是拋物線y=x2上點O(0, 0)與點B(1, 1)之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0163。x163。1), 因此 . 例2 計算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度為m=1). 解 取坐標(biāo)系如圖所示, 則. 曲線L的參數(shù)方程為 x=Rcosq, y=Rsinq (a163。qa). 于是 =R3(asina cosa). 例3 計算曲線積分, 其中G為螺旋線x=acost、y=asint、z=kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2p的一段弧. 解 在曲線G上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 小結(jié): 用曲線積分解決問題的步驟: (1)建立曲線積分。 (2)寫出曲線的參數(shù)方程 ( 或直角坐標(biāo)方程) , 確定參數(shù)的變化范圍。 (3)將曲線積分化為定積分。 (4)計算定積分. 167。3. 2 對坐標(biāo)的曲線積分 一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 變力沿曲線所作的功: 設(shè)一個質(zhì)點在xOy面內(nèi)在變力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點B, 試求變力F(x, y)所作的功. 用曲線L上的點A=A0, A1, A2, , An1, An=B把L分成n個小弧段, 設(shè)Ak=(xk , yk), 有向線段的長度為Dsk, 它與x軸的夾角為tk , 則 (k=0, 1, 2, , n1). 顯然, 變力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似為 。于是, 變力F(x, y)所作的功 , 從而 . 這里t=t(x, y), {cost, sint}是曲線L在點(x, y)處的與曲線方向一致的單位切向量. 把L分成n個小弧段: L1, L2, , Ln。 變力在Li上所作的功近似為: F(xi, hi)Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi 。 變力在L上所作的功近似為: 。 變力在L上所作的功的精確值: , 其中l(wèi)是各小弧段長度的最大值. 提示: 用Dsi={Dxi,Dyi}表示從Li的起點到其終點的的向量. 用Dsi表示Dsi的模. 對坐標(biāo)的曲線積分的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x, y)在有向光滑曲線L上有界. 把L分成n個有向小弧段L1, L2, , Ln。 小弧段Li的起點為(xi1, yi1), 終點為(xi, yi), Dxi=xixi1, Dyi=yiyi1。 (xi, h)為Li上任意一點, l為各小弧段長度的最大值. 如果極限總存在, 則稱此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即, 如果極限總存在, 則稱此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即. 設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線, {cost, sint}是與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y)、Q(x, y)在L上有定義. 如果下列二式右端的積分存在, 我們就定義 , , 前者稱為函數(shù)P(x, y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分, 后者稱為函數(shù)Q(x, y)在有向曲線L上對坐標(biāo)y的曲線積分, 對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分. 定義的推廣: 設(shè)G為空間內(nèi)一條光滑有向曲線, {cosa, cosb, cosg}是曲線在點(x, y, z)處的與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定義. 我們定義(假如各式右端的積分存在) , , . , , .對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式: 。 . 對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì): (1) 如果把L分成L1和L2, 則 . (2) 設(shè)L是有向曲線弧, L是與L方向相反的有向曲線弧, 則 . 兩類曲線積分之間的關(guān)系: 設(shè){costi, sinti}為與Dsi同向的單位向量, 我們注意到{Dxi, Dyi}=Dsi, 所以Dxi=costiDsi, Dyi=sintiDsi, , . 即 , 或 . 其中A={P, Q}, t={cost, sint}為有向曲線弧L上點(x, y)處單位切向量, dr=tds={dx, dy}. 類似地有 , 或 . 其中A={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}為有向曲線弧G上點(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }, A t為向量A在向量t上的投影. 二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算: 定理: 設(shè)P(x, y)、Q(x, y)是定義在光滑有向曲線L: x=j(t), y=y(t), 上的連續(xù)函數(shù), 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由a變到b時, 點M(x, y)從L的起點A沿L運動到終點B, 則 , . 討論: =？提示: . 定理: 若P(x, y)是定義在光滑有向曲線 L: x=j(t), y=y(t)(a163。t163。b)上的連續(xù)函數(shù), L的方向與t的增加方向一致, 則 . 簡要證明: 不妨設(shè)a163。b. 對應(yīng)于t點與曲線L的方向一致的切向量為{j162。(t), y162。(t)}, 所以,從而 . 應(yīng)注意的問題: 下限a對應(yīng)于L的起點, 上限b 對應(yīng)于L的終點, a不一定小于b . 討論: 若空間曲線G由參數(shù)方程x=j(t), y =y (t), z=w(t)給出, 那么曲線積分 =？如何計算? 提示: , 其中a對應(yīng)于G的起點, b對應(yīng)于G的終點. 例題: , 其中L為拋物線y2=x上從點A(1, 1)到點B(1, 1)的一段弧. 解法一: 以x為參數(shù). L分為AO和OB兩部分: AO的方程為, x從1變到0。 OB 的方程為, x從0變到1. 因此 . 第二種方法: 以y為積分變量. L的方程為x=y2, y從1變到1. 因此 . 例2. 計算. (1)L為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2 。 (2)從點A(a, 0)沿x軸到點B(a, 0)的直線段. 解 (1)L 的參數(shù)方程為x=a cosq, y=a sinq, q從0變到p. 因此 . (2)L的方程為y=0, x從a變到a. 因此 . 例3 計算. (1)拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧。 (2)拋物線x=y2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧。 (3)從O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折線OAB . 解 (1)L: y=x2, x從0變到1. 所以 . (2)L: x=y2, y從0變到1. 所以 . (3)OA: y=0, x從0變到1。 AB: x=1, y從0變到1. =0+1=1. 例4. 計算, 其中G是從點A(3, 2, 1)到點B(0, 0, 0)的直線段. 解: 直線AB的參數(shù)方程為 x=3t, y=2t, x=t, t從1變到0. 所以所以 . 例5. 設(shè)一個質(zhì)點在M(x, y)處受到力F的作用, F的大小與M到原點O的距離成正比, F的方向恒指向原點. 此質(zhì)點由點A(a, 0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0, b), 求力F所作的功W. 例5. 一個質(zhì)點在力F的作用下從點A(a, 0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0, b), F的大小與質(zhì)點到原點的距離成正比, 方向恒指向原點. 求力F所作的功W. 解: 橢圓的參數(shù)方程為x=acost, y=bsint , t從0變到. , , 其中k0是比例常數(shù). 于是 . . 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 由定義, 得 , 其中F={P, Q}, T={cost, sint}為有向曲線弧L上點(x, y)處單位切向量, dr=Tds={dx, dy}. 類似地有 . 其中F={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}為有向曲線弧G上點(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }. 167。 格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式 單連通與復(fù)連通區(qū)域: 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域. 對平面區(qū)域D的邊界曲線L, 我們規(guī)定L的正向如下: 當(dāng)觀察者沿L的這個方向行走時, D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊.