【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 函數(shù) 七、周期函數(shù)的判斷與周期的求法 1．周期函數(shù)周期的求法 （1）若T為f(x) 的周期，則f(ax+b)的周期為 （2）若f(x)的周期為T1，g(x)的周期為T2，則c1f(x)+c2g(x)的周期為T1，T2的最小公倍數(shù)。 2．周期函數(shù)的判斷方法。 （1）用定義。 （2）用周期函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。常見(jiàn)函數(shù)的周期：sinx,cosx,其周期T=2π；其周期T=π。 例12 求下列函數(shù)周期 （1）； （2）； （3）。 解（1）由的周期，的周期。故f(x)的周期性期為6π。 （2）由 ，知f(x)的周期。 （3）設(shè)，T為任意整數(shù),由知任意整數(shù)均為其周期，則最小周期T=1。 例13 若函數(shù)的圖形關(guān)于兩條直線x=a和x=b對(duì)稱（ba），則f(x)為周期函數(shù)。 證 由條件函數(shù)的對(duì)稱性知 ， （1） ， （2）故函數(shù)在a,b中點(diǎn)(a+b)/2處的值等于點(diǎn)a/和處的函數(shù)值從而猜想如果f(x)為周期函數(shù)，則周期應(yīng)為 。事實(shí)上 所以f(x)是以2(ba)為周期的周期函數(shù)。 八、單調(diào)函數(shù)的判斷方法1．用定義。2．利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)。 （1）兩個(gè)遞減（增）函數(shù)的復(fù)合是遞增函數(shù)，一個(gè)遞增、一個(gè)遞減函數(shù)的復(fù)合是遞減函數(shù)。 例14 設(shè)及f(x)為遞增函數(shù)證明：若 （1） 則 （2） 證 設(shè)x0為三個(gè)函數(shù)公共域內(nèi)的任一點(diǎn)，則 由（1）以及函數(shù)f(x)的遞增性知，；從而 同理可證 。由x0的任意性知，于是（2）式成立。 九、函數(shù)有界性的判斷 判斷函數(shù)是否有界，經(jīng)常用定義。 例15 判斷下列函數(shù)是否有界： （1）； （2）。 解（1）由f(x)的定義域是R。當(dāng)，當(dāng)，知，所以f(x)為有界函數(shù)。 （2）。 由無(wú)界函數(shù)的定義知f(x)在（0，1）上無(wú)界。第二節(jié) 函數(shù)極限與連續(xù)167。 函數(shù)極限內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的閉區(qū)間上連續(xù)最大（?。┲刀ɡ砹阒迭c(diǎn)定理（根的存在定理）介值定理函數(shù)極限與連續(xù) 夾逼定理判斷函數(shù)極限存在準(zhǔn)則 單調(diào)有界定理 單側(cè)極限與雙側(cè)極限函數(shù)極限與數(shù)列極限——?dú)w結(jié)原則。關(guān)系定理 函數(shù)極限與無(wú)窮小 無(wú)窮大與無(wú)窮小無(wú)窮小的階——高階、同階、等價(jià)。函數(shù)連續(xù)定義—— 可去間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)分類 第二類間斷點(diǎn) 167。一、函數(shù)極限的概念1.。2. 把1中“”換成“”。3． 把1中“”換成“”。定理且4．設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)有定義，若存在一個(gè)常數(shù)A，都有。5． 設(shè)在的某左半鄰域內(nèi)有定義，若存在一個(gè)常數(shù)A，時(shí)，都有。此時(shí)也可用記號(hào)或表示左極限值A(chǔ)，因此可寫成6. 設(shè)在的某右半鄰域內(nèi)有定義，若存在一個(gè)常數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有。此時(shí)也可用或表示右極限。因此可寫成。定理 且該定理是求分界點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同的分段函數(shù)在該分界點(diǎn)極限是否存在的方法，而如果在的左右極限存在且相等，則在該點(diǎn)的極限存在，否則不存在。7．時(shí)，都有。此時(shí)稱時(shí)，是無(wú)窮大量。而，只要把公式中“”改成“”，只要把上式中“”改成“”。8.。當(dāng)時(shí)，都有。讀者同理可給出定義。注：（常數(shù)）與的區(qū)別，前者是表明函數(shù)極限存在，后者指函數(shù)極限不存在，但還是有個(gè)趨于無(wú)窮大的趨勢(shì)。因此，給它一個(gè)記號(hào)，但還是屬于極限不存在之列，以后，我們說(shuō)函數(shù)極限存在，指的是函數(shù)極限值是個(gè)常數(shù)。9．。稱當(dāng)是無(wú)窮小量。這里的可以是常數(shù)，也可以是。定理 。其中。10．若時(shí)，都有，稱時(shí)是有界量。二、無(wú)窮小量階的比較，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量關(guān)系設(shè)，（這里可以是常數(shù)，也可以是，以后我們不指出都是指的這個(gè)意思）（1）若，稱當(dāng)時(shí)是的高階無(wú)窮小量，記作。（2）若，稱時(shí)是的同價(jià)無(wú)窮小量。（3）若，稱時(shí)是的等價(jià)無(wú)窮小量，記作，此時(shí)（2）式也可記作。（4）若，稱時(shí)是的k階無(wú)窮小量。由等價(jià)無(wú)窮量在求極限過(guò)程中起到非常重要的作用，因此，引入若。記作，如果均是無(wú)窮小量，稱為等價(jià)無(wú)窮小量；如果均是無(wú)窮大量，稱為等價(jià)無(wú)窮大量；如果既不是無(wú)窮小也不是無(wú)窮大，我們稱為等價(jià)量。例如 ，則。注：A不能為零，若A=0，不可能和0等價(jià)。無(wú)窮小量的性質(zhì)：1．若均為無(wú)窮小量，則（i）其中均為常數(shù)。（ii）。2．若時(shí)是有界量，則。無(wú)窮大量的性質(zhì)：1．有限個(gè)無(wú)窮大量之積仍是無(wú)窮大量。2．有界量與無(wú)窮大量之和仍是無(wú)窮大量。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系：若；若。三、函數(shù)連續(xù)的概念。定義1 若處連續(xù)。用語(yǔ)言可寫為定義 設(shè)的某鄰域內(nèi)有定義，若時(shí)，都有，稱連續(xù)。用函數(shù)值增量形式可寫為定義 若，稱在處連續(xù)。若,稱處左連續(xù)。若稱處右連續(xù)。定理處連續(xù)處既是左連續(xù)又是右連續(xù)。如果處不連續(xù)，稱為的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)的分類：（1）若點(diǎn)。若為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，只須補(bǔ)充定義或改變函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。但須注意，這時(shí)函數(shù)與已經(jīng)不是同一個(gè)函數(shù)但僅在處不同，在其它點(diǎn)相同。我們正是利用這一性質(zhì)去構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，使在某閉區(qū)間上處處連續(xù)，因而有某種性質(zhì)。當(dāng)時(shí)，也具有這種性質(zhì)。而時(shí)，所以在的范圍內(nèi)也具有這種性質(zhì)，從而達(dá)到了我們的目的。例如 ，但 則在處連續(xù)，但與定義域不同，雖然，又如知。設(shè)則在處連續(xù)，雖然與定義域相同，但在處，兩個(gè)函數(shù)值不同，知與不是同一函數(shù)，但僅在不同，其余點(diǎn)函數(shù)值處處相同。（2）若但，稱為的跳躍間斷點(diǎn)，稱的跳躍度。（1）（2）兩種類型的特點(diǎn)是左右極限都存在，我們統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)。（3）若處，左、右極限至少有一個(gè)不存在，我們稱。若，我們也稱為的無(wú)窮型間斷點(diǎn)，屬于第二類間斷點(diǎn)。四、函數(shù)極限的性質(zhì)在下述六種類型的函數(shù)極限：（1） （2） （3） （4） （4） （6）它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，我們以為例，其它類型極限的相應(yīng)性質(zhì)的敘述只要作適當(dāng)修改就可以了。性質(zhì)1（唯一性）若極限存在，則它只有一個(gè)極限。性質(zhì)2（局部有界性）若極限存在，則存在的某空心鄰域，使在內(nèi)有界。注意：存在，只能得出在的某鄰域內(nèi)有界，得不出在其定義域內(nèi)有界。性質(zhì)3 若，則存在的某空心鄰域，使時(shí)，都有。性質(zhì)4（局部保號(hào)性） 若，則對(duì)任何常數(shù)，存在的某空心鄰域，使得對(duì)一切，都有 成立。性質(zhì)5（不等式）若，且存在的某空心鄰域，使得對(duì)一切，都有。性質(zhì)6 （復(fù)合函數(shù)的極限）若，且存在的某空心鄰域，當(dāng)時(shí)， ，則。性質(zhì)6是求極限的一個(gè)重要方法——變量替換法，即。性質(zhì)7（函數(shù)極限的四則運(yùn)算）若均存在，則函數(shù)（1）； （2）；（3）；又若在時(shí)的極限也存在，且有（4）。利用極限的四則運(yùn)算，可得下列重要結(jié)果。上面的結(jié)論可作為公式用。性質(zhì)8（歸結(jié)原則或海涅（Heine）定理）存在的充要條件是：都存在且相等。逆否定理若存在兩個(gè)數(shù)列==且或存在不存在，則不存在。此定理是判斷函數(shù)極限不存在的一個(gè)重要方法。五、函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)若函數(shù)處連續(xù)，即，利用極限的性質(zhì)15可得到函數(shù)在連續(xù)的局部有界性，局部保號(hào)性，不等式等，只要把即可，讀者自己敘述出來(lái)。利用極限的四則運(yùn)算，我們有性質(zhì)1（連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算）若處連續(xù)，則。性質(zhì)2 若處連續(xù)，則處也連續(xù)且在滿足性質(zhì)2的條件下，極限符號(hào)與外函數(shù)可交換順序，如果僅要可交換順序，有推論 若。證 設(shè)則處連續(xù)，又處連續(xù)，由性質(zhì)2知。由于。在這里，我們巧妙地利用可去間斷點(diǎn)的性質(zhì)，構(gòu)造一個(gè)連續(xù)函數(shù)，以滿足所需的條件，上面的性質(zhì)2及推論也是求函數(shù)極限的一個(gè)重要方法。即極限符號(hào)與外函數(shù)交換順序，把復(fù)雜函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)極限。定理 初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)。六、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理 （最大值與最小值定理）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一定能取到最大值與最小值，即存在，使得對(duì)一切，都有。推論1 若上連續(xù)，則上有界。定理（根的存在定理或零值點(diǎn)定理）若函數(shù)上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)。推論1 若函數(shù)上連續(xù)，且之間的任何常數(shù)，則至少存在一點(diǎn)。推論2 若函數(shù)上連續(xù)，則。這幾個(gè)定理非常重要，請(qǐng)大家要記住這些定理的條件與結(jié)論，并會(huì)運(yùn)用這些定理去解決問(wèn)題。七、重要的函數(shù)極限與重要的等價(jià)量利用初等函數(shù)的連續(xù)性及極限符號(hào)與外函數(shù)的可交換性及等價(jià)量替換，夾逼定理可得到下面的重要的函數(shù)極限。1． 2. .3．.4..5. ..7．.8．.9． .10． .11．若=即 。注：不僅要記住這些公式的標(biāo)準(zhǔn)形式，更要明白一般形式。即上面公式中的可換成，只要時(shí)，結(jié)論依然成立。利用上述重要極限，我們可以得到下列對(duì)應(yīng)的重要的等價(jià)無(wú)窮小量，在解題中經(jīng)常要利用他們當(dāng)時(shí)，..注：上式中的可換成，只要時(shí)，.結(jié)論依然成立。例如 。此外，若.167。 解題基本方法與技巧一、求函數(shù)極限的有關(guān)定理等價(jià)量替換定理，若（1）；（2）；，則.證,即.這個(gè)定理告訴我們，在求函數(shù)極限時(shí)，分子、分母中的因式可用它的簡(jiǎn)單的等價(jià)的量來(lái)替換，以便化簡(jiǎn)，容易計(jì)算。但替換以后函數(shù)極限要存