幾大放縮方法(編輯修改稿)
2024-09-01 03:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線平行于軸，交直線于點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)作直線平行于軸，.（Ⅰ）試求與的關(guān)系，并求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明.解析:（l）（取對(duì)數(shù)遞推型數(shù)列，過(guò)程略）.證明（II）：由知，∵，∴.所以這個(gè)數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列，結(jié)論中又有，顯然提示我們累加?！弋?dāng)時(shí)，∴.證明（Ⅲ）：由知∴下面我們先證明一個(gè)引理：引理的證明：由，上式可轉(zhuǎn)化為 ①由于，所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，切對(duì)于任意正整數(shù)n,都有所以令=，構(gòu)造函數(shù) 顯然，所以①式成立，即引理得證！所以點(diǎn)評(píng)：很多同學(xué)都感到那個(gè)引理巧妙無(wú)比，都會(huì)納悶這個(gè)引理是怎么得出來(lái)的，題目中又沒(méi)給什么信息。其實(shí)原理就是我講過(guò)的定積分，題目不是給了一張圖嗎？！這就是最有利的條件，再想想定積分是什么，不就是圖形面積嗎，恰表示陰影部分面積，而陰影面積是小于與x軸圍成的面積的，所以顯然有，進(jìn)一步即得，所以引理跟定積分如出一轍，只是換了一種初等的表述方法罷了。例5 設(shè)數(shù)列，且方程有一根為，試求解如下問(wèn)題：（1）的通項(xiàng)公式 （2）證明：解答：（1）首先把首項(xiàng)求出來(lái)，易知，再把代入方程中，易得 ，進(jìn)一步得 （2）先進(jìn)行化簡(jiǎn)工作， 下面是套路，取個(gè)對(duì)數(shù)，得此時(shí)我們想到上面介紹
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