【文章內(nèi)容簡介】 σ s) 優(yōu)點：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況 ，數(shù)字上合理 。 缺點：受計量單位和平均水平影響 ， 不便于比較 簡單： 加權(quán)： ? ?????ffXX???? 22? ?nXX i 22 ????2?? ?1)( 22????nxxS1)( 22????? ffxxS2ss ?概 念 計 算 特 點 6．標準差系 數(shù) （ Vσ） 標準差與均值之商，是無量 綱的 兩列數(shù)據(jù)的分布進行離散程度的比較 ， 當它們的 平均數(shù)不等 、 計量單位不同時 則應(yīng)消除平均數(shù)不同和計量單位不可比的影響 。 此時就需要用離散系數(shù)這種相對數(shù)來是測定離散趨勢 XV?? ?方差（ σ2）和標準差（ σ）是應(yīng)用最廣的標志變異指標 四、數(shù)據(jù)的形態(tài)測定 偏度 :是測定數(shù)據(jù)分布的偏斜程度的指標 .。 定義 M=∑(XA)k/n為變量 X關(guān)于 A的 k階矩 。 ? 當 A=0，即以原點為中心，上式稱為“ K階原點矩”。 K=1， 2， 3時，有： 一階原點矩 M1=∑(X0)1/n=∑X/n 二階原點矩 M2=∑(X0)2/n=∑X2/n 三階原點矩 M3=∑(X0)3/n=∑X3/n ? 當 A= ，即以 為中心，上式稱為“ K階中心矩”。 xK=1， 2， 3時，有： 一階中心矩 二階中心矩 三階中心矩 0/)( 11 ???? nXXmnXXm /)( 22 ???nXXm /)( 33 ??? 所以， m3可以測定偏度。為消除量綱，轉(zhuǎn)變?yōu)橄禂?shù)，再除以 σ3。 33??m?偏度系數(shù)0負偏態(tài) =0對稱分布 0正偏態(tài) 峰度：是用來反映數(shù)據(jù)分布曲線頂端的尖峭或扁平程度的指標。 44??m?峰度系數(shù)0平頂曲線 =3正態(tài)曲線 3尖頂曲線 注：在 EXCL等軟件中輸出的峰度是在此基礎(chǔ)上再減 3。 五數(shù)概括 ： 即最小值 xmin 、最大值 xmax 、第一四分位數(shù) M中位數(shù) Me和第三四分位數(shù) M3 五個數(shù)之間的關(guān)系，確定數(shù)據(jù)分布形態(tài)的方法： 數(shù)據(jù)是完全對稱 ： 數(shù)據(jù)是不對稱 ： 最小值 xmin到中位數(shù)的距離等于中位數(shù)到最大值xmax的距離 。 從 xmin到 M1的距離等于 M3到 xmax的距離。 從 xmax到中位數(shù)的距離大于中位數(shù)到 xmin的距離。 從 M3到 xmax的距離大于從從 xmin到 M1的距離。 右偏分布 從 xmin到中位數(shù)的距離大于中位數(shù)到 xmax的距離。 從 xmin到 M1的距離大于 M3到 xmax的距離。 左偏分布 箱線圖 :是基于五數(shù)概括的圖示方式，使得集中趨勢、離散趨勢和偏態(tài)更為直觀。 第五章 參數(shù)估計和假設(shè)檢驗 推斷統(tǒng)計： 利用樣本統(tǒng)計量對總體某些性質(zhì)或數(shù)量特征進行推斷。 隨機原則 總體參數(shù) 統(tǒng)計量 推斷估計 參數(shù)估計 檢驗 假設(shè)檢驗 抽樣分布 抽樣分布 簡單隨機抽樣和簡單隨機樣本的性質(zhì) 不放回 放 回 放回 不放 回 獨立性和同一性 同一性 當 n/N≤5%時，有限總體不放回抽樣等同于放回抽樣 統(tǒng)計量與抽樣分布 ?統(tǒng)計量：即 樣本指標 。 樣本均值 樣本成數(shù) 樣本方差 如： nXX i??nnP i??22 )(11 XXnS i ?????抽樣分布： 某一統(tǒng)計量所有可能的樣本的取值形成的分布。 性 質(zhì) 數(shù)字特征 0≤P（ Xi） ?1 ∑P（ Xi） =1 均值 E（ X） 方差 E[xE(x)]2 方差的平方根即抽樣分布的標準差就是 推斷的 抽樣誤差。 樣本均值的抽樣分布（簡稱均值的分布） 抽樣 均值 均值 μ=∑Xi/N nxX i??樣本均值是樣本的函數(shù)， 故樣本均值是一個 統(tǒng)計量 ， 統(tǒng)計量是一個 隨機變量 ， 樣本均值的概率分布稱為 樣本均值的抽樣分布。 抽 樣 方 法 均 值 方 差 標 準差 （ 1）從無限總體抽 樣和有限總體放回抽樣 （ 2）從有限總體不放回抽樣 ??? xxE )(??? xxE )(nx22 ?? ?)1(22???NnNnx??nx?? ?1???NnNnx??即均值推斷的抽樣誤差和 ,12????NnNnn xx????抽樣誤差 抽樣誤差 從正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布也服從 正態(tài)分布 。 從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？ 中心極限定理：無論總體為何種分布，只要 樣本 n足夠大（ n≥30），均值（ ）標準化為（ z）變量，必定服從標準正態(tài)分布，均值（ ）則服從 正態(tài)分布， 即： xx)]1(,[~)/,(~),1,0(~/22???NnNnNXnNXNnX ?????? 或關(guān)于均值的抽樣分布有如下的一些結(jié)論 : ， 不論其形態(tài)如何 ， 如果樣本觀察值 超過 30個 ， 那么均值的抽樣分布將 近似于正態(tài)分布 。 ， 那么只要樣本觀察值超過 15個 ， 均值的抽樣分布也近似于正態(tài)分布 。 ，則不管樣本大小如何，均值的抽樣分布一定是正態(tài)分布的。 兩個樣本均值之差的抽樣分布 抽樣 抽樣 ?21 ?? ?? Axx ?? 21估計 ),( 211 1??NX ? ),( 2222 ??NX ?),(~)(2221212121 nnNxx???? ???則（ 1）如： （ 2〕 如果兩個總體都是非正態(tài)總體，只要 n n2足夠大，根據(jù)中心極限定理，可知： ),(~)(2221212121 nnNxx???? ???)]1()1(,[(~)(2222221111212121 ???????NnNnNnNnNxx????)]1()1(,[(~)(2222221111212121 ???????NnNnNnNnNxx????樣本成數(shù)（即比例）的抽樣分布（簡稱成數(shù)的分布） 抽樣 成數(shù) 成數(shù) P=Ni/N 所有可能的樣本的成數(shù)（ ）所形成的分布，稱為樣本成數(shù)的抽樣分布。 nnP i /? ?nPPP ?,?,? 21 ?抽 樣 方 法 均 值 方 差 標 準差 （ 1）從無限總體抽 樣和有限總體放回抽樣 （ 2）從有限總體不放回抽樣 PnnEPE i?? )/()?(PnnEPE i?? )/()?(nPqP /2? ??)1(2? ??? N nNnPqP?nPqP ???)1(? ??? N nNnPqP?根據(jù)中心極限定理，只要樣本足夠大， 的分布就近似正態(tài)分布。（ np和 nq大于 5時） 抽樣誤差 抽樣誤差 P?兩個樣本成數(shù)之差的抽樣分布 抽樣 抽樣 估計 當 n n2都足夠大時 ， 樣本成數(shù) 都近似服從正態(tài)分布 ，兩個樣本成數(shù)之差 （ ） 也近似服從正態(tài)分布 。 APP ?? 21 ??P1P2=？ ),(~)??()1(2221112121 nqPnqPPPNPP ???)]1()1(,[~)??()2(2222211111121212???????NnNnqPNnNnqPPPNPP21 ?,? PP21 ?? PP ?一個樣本方差的抽樣分布 抽樣 若 :從一個正態(tài)總體中抽樣所得到的樣本方差的分布 ),(~ 2??NX n,S2 則 )1(~/)1( 222 ?? nSn ??當 分布趨近于正態(tài)分布2,30 ??n)1(~ 2 ?nxX若 )1(22 2 ??? nZ ?則 兩個樣本方差之比的抽樣分布 抽樣 從兩個正態(tài)總體中分別獨立抽樣所得到的兩個樣本方差之比的抽樣分布。 ),(~ 2111 ??NXn1,S12 則 抽樣 ),(~ 2222 ??NXn2,S22 )1)(1(~// 2122222121 ??? nnFSSF???參數(shù)估計 點估計 以樣本指標直接估計總體參數(shù)。 ?? ??評價準則 的數(shù)學(xué)期望等于總體參數(shù)，即 ?? ??E該估計量稱為無偏估計。 無偏性 有效性 當 為 的無偏估計時， 方差 越小，無偏估計越有效。 ?2)?( ?? ?E??一致性 對于無限總體， 如果對任意 0＞?0)|?(| ????? ??? nn PL im則稱 的一致估計。 ?是 充分性 一個估計量如能完全地包含未知參數(shù)信息，即為充分量 估計量 ??????點估計 常用的求點估計量的方法 : 當樣本容量增大時 ,用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征。 ?? ? ? ??XXniin1 ? ??? 2 21211? ? ? ???S n X Xiin例如 ， 我們可以用樣本平均數(shù) (或成數(shù) )和樣本方差來估計總體的均值 (或比率 )和方差 。 : 如果把取得的樣本觀測值按大小排列起來，那么與排列位置有關(guān)的統(tǒng)計量就稱為順序統(tǒng)計量。常用的順序統(tǒng)計量有樣本中位數(shù)和極差。 當總體服從 正態(tài)分布 時 , 用樣本中位數(shù)來估計總體的數(shù)學(xué)期望 : em??? : 極大似然估計是根據(jù)樣本的似然函數(shù)對總體參數(shù)進行估計的一種方法 。 其實質(zhì)就是根據(jù)樣本觀測值發(fā)生的可能性達到 最大 這一原則來選取未知參數(shù)的估計量 θ ，其理論依據(jù)就是概率最大的事件最可能出現(xiàn)。 區(qū)間估計 估計未知參數(shù)所在的可能的區(qū)間。 評價準則 隨機區(qū)間 置信度 精確度 隨機區(qū)間 ????? ?? 1)??( ULP ＜＜)?,?( UL ??包含 （即可靠程度）越大越好。 的概率 )?,?( UL ??的平均長度 （誤差范圍）越小越好 )?,?( LUE ??一般形式 )?()?( △＜＜△ ?? ???△?? ?? ?或 總體參數(shù) 估計值 誤差范圍 △ ：一定倍數(shù)的抽樣誤差 nZx??2?△例如： 抽樣誤差 n/? 一定時， 2?Z 越大， x△概率（可靠性）大； 隨之增大， 精確度就差。 參數(shù)的區(qū)間估計 待估計參數(shù) 已知條件 置信區(qū)間 △????正態(tài)總體， σ2已知 正態(tài)總體， σ2未知 非正態(tài)總體， n≥30 有限總體， n≥30 （不放回抽樣） 總體均值 （ μ） nZX /2?? ??nZX /2?? ??nStX n /)1(2 ?? ?12 ???NnNnZX??σ未知時，用 S σ未知時，用 S 222121221 )( nnZXX??? ???)( 21 XX ?21)2(21121 nnSt pnn ??? ???222121221 )( nnZXX??? ???兩個正態(tài)總體 2221 ,?? 已知 兩個正態(tài)總體 2221 ,??未知但相等 兩個非正態(tài)總體 ,n1， n2≥30 兩個總體均值之差 μ1μ2 待估計參數(shù) 已知條件 置信區(qū)間 △????無限總體， np和 nq都大于 5 總體成數(shù) （ p） 無限總體， n1p1＞ 5, n1q1 ＞ 5 n2p2＞ 5, n2q2＞ 5 兩個總體成數(shù)之差 （ P1 P2） 有限總體， np和 nq都大于 5 nqPZP ???2??1???2 ???NnNnqpZP?222111