【文章內(nèi)容簡介】 MNF 中，由勾股定理得： NF2+MN2=MF2， 即：（ 2﹣ x） 2+1=x2，解得： x= ， ∴FD= ， OF=OD﹣ FD=4﹣ = ， ∴F （ ， 0）； （ II）若 FD=DM．如答圖 3所示： 此時 FD=DM= ， ∴OF=OD ﹣ FD=4﹣ ． ∴F （ 4﹣ ， 0）； （ III）若 FM=MD． 由拋物線對稱性可知，此時點 F與原點 O重合． 而由題意可知，點 E與點 A重合后即停止運動，故點 F不可能運動到原點 O． ∴ 此種情形不存在． 綜上所述，存在點 F（ ， 0）或 F（ 4﹣ ， 0），使 △DMF 為等腰三角形． ，點 P是直線 l ： 22 ??? xy 上的點，過點 P的另一條直線 m 交拋物線 2xy? 于 A、B兩點． （ 1）若直線 m 的解析式為 2321 ??? xy ，求 A、 B兩點的坐標(biāo)； （ 2）①若點 P的坐標(biāo)為（－ 2， t ），當(dāng) PA＝ AB 時，請直接寫出點 A的坐標(biāo)； ②試證明：對于直線 l 上任意給定的一點 P，在拋物線上都能找到點 A，使得 PA＝ AB成立． （ 3）設(shè)直線 l 交 y 軸于點 C，若△ AOB的外心在邊 AB上，且∠ BPC＝∠ OCP，求點 P的坐標(biāo)． xy第 25 （ 1 ） 題圖OlmPBAxylO第 25 （ 2 ） 題圖xyClmPAOB第 25 （ 3 ） 題圖 解：（ 1）依題意，得?????????.,23212xyxy 解得??????????492311yx ，??? ??1122yx ∴ A（ 23? ， 49 ）， B（ 1， 1）． （ 2）① A1（－ 1， 1）， A2（－ 3， 9）． ②過點 P、 B 分別作過點 A且平行于 x 軸的直線的垂線 ，垂足分別為 G、 H. 設(shè) P（ a ， 22 ?? a ）， A（ m ， 2m ），∵ PA＝ PB，∴△ PAG≌△ BAH， ∴ AG＝ AH， PG＝ BH，∴ B（ am?2 ， 222 2 ?? am ）， 將點 B 坐標(biāo)代入拋物線 2xy? ，得 02242 22 ????? aaamm ， ∵△＝ ? ? ? ? 08181616822816 2222 ?????????? aaaaaa ∴無論 a 為何值時，關(guān)于 m 的方程總有兩個不等的實數(shù)解，即對于任意給定的 點 P，拋物線上總能找到兩個滿足條件的點 A． （ 3）設(shè)直線 m ： ? ?0??? kbkxy 交 y 軸于 D，設(shè) A（ m ， 2m ）， B（ n ， 2n ）． 過 A、 B 兩點分別作 AG、 BH 垂直 x 軸于 G、 H． ∵△ AOB 的外心在 AB 上，∴∠ AOB＝ 90176。， 由△ AGO∽△ OHB，得 BHOHOGAG? ，∴ 1??mn ． 聯(lián)立??? ? ??2xybkxy 得 02 ??? bkxx ，依題意， 得 m 、 n 是方程 02 ??? bkxx 的兩根，∴ bmn?? ，∴ 1??b ，即 D（ 0， 1）． ∵∠ BPC＝∠ OCP，∴ DP＝ DC＝ 3． P 設(shè) P（ a ， 22 ?? a ），過點 P 作 PQ⊥ y 軸于 Q，在 Rt△ PDQ 中， 222 PDDQPQ ?? ， ∴ ? ? 222 3122 ????? aa ．∴ 01a （舍去）， 5122 ??a，∴ P（ 512? ， 514 ）． ∵ PN平分∠ MNQ，∴ PT＝ NT，∴ ? ?ttt ???? 2221 2 ， xyPGHABO第 25 （ 2 ） 題圖xyHGQ第 25 （ 3 ） 題圖BOAPmlC 7．已知兩個共一個頂點的等腰 Rt△ ABC， Rt△ CEF， ∠ ABC=∠ CEF=90176。 ，連接 AF， M是 AF的中點，連接 MB、 ME． （ 1）如圖 1，當(dāng) CB與 CE在同一直線上時，求證： MB∥ CF； （ 2）如圖 1，若 CB=a， CE=2a，求 BM， ME的長； （ 3）如圖 2，當(dāng) ∠ BCE=45176。 時，求證： BM=ME． 考點 ： 三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 分析： （ 1）證法一：如答圖 1a所示，延長 AB交 CF于點 D，證明 BM為 △ ADF的中位線即可； 證法二：如答圖 1b所示，延長 BM交 EF于 D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得 AB∥ EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得 ∠ BAM=∠ DFM，根據(jù)中點定義可得 AM=MF，然后利用 “ 角邊角 ” 證明 △ ABM和 △ FDM全等，再根據(jù)全等三 角形對應(yīng)邊相等可得 AB=DF，然后求出 BE=DE，從而得到 △ BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出 ∠ EBM=45176。 ，從而得到 ∠ EBM=∠ ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明 MB∥ CF即可， （ 2）解法一：如答圖 2a 所示，作輔助線，推出 BM、 ME 是兩條中位線； 解法二：先求出 BE的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得 EM⊥ BD，求出 △ BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可； （ 3）證法一：如答圖 3a所示，作輔助線，推出 BM、 ME是兩條中位線： BM= DF， ME= AG；然后證明 △ ACG≌△ DCF，得到 DF=AG，從而證明 BM=ME； 證法二：如答圖 3b所示，延長 BM 交 CF于 D，連接 BE、 DE，利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行求出 AB∥ CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出 ∠ BAM=∠ DFM，根據(jù)中點定義可得 AM=MF，然后利用 “ 角邊角 ” 證明 △ ABM和 △ FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 AB=DF， BM=DM，再根據(jù) “ 邊角邊 ” 證明 △ BCE和 △ DFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 BE=DE，全等三角形對應(yīng)角相等可得 ∠ BEC=∠ DEF，然后求出 ∠BED=∠ CEF=90176。 ，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可． 解答： （ 1）證法一： 如答圖 1a，延長 AB交 CF于點 D，則易知 △ ABC與 △ BCD均為等腰直角三角形， ∴ AB=BC=BD， ∴ 點 B為線段 AD的中點， 又 ∵ 點 M為線段 AF的中點， ∴ BM為 △ ADF的中位線， ∴ BM∥ CF． 證法二： 如答圖 1b，延長 BM交 EF于 D， ∵∠ ABC=∠ CEF=90176。 ， ∴ AB⊥ CE， EF⊥ CE， ∴ AB∥ EF， ∴∠ BAM=∠ DFM， ∵ M是 AF的中點， ∴ AM=MF， ∵ 在 △ ABM和 △ FDM中， ， ∴△ ABM≌△ FDM（ ASA）， ∴ AB=DF， ∵ BE=CE﹣ BC， DE=EF﹣ DF， ∴ BE=DE， ∴△ BDE是等腰直角三角形， ∴∠ EBM=45176。 ， ∵ 在等腰直角 △ CEF中， ∠ ECF=45176。 ， ∴∠ EBM=∠ ECF， ∴ MB∥ CF； （ 2）解法一： 如答圖 2a所示，延長 AB 交 CF于點 D，則易知 △ BCD與 △ ABC為等腰直角三角形， ∴ AB=BC=BD=a， AC=AD= a， ∴ 點 B為 AD中點，又點 M為 AF中點， ∴ BM= DF． 分別延長 FE與 CA交于點 G，則易知 △ CEF與 △ CEG均為等腰直角三角形， ∴ CE=EF=GE=2a， CG=CF= a， ∴ 點 E為 FG中點，又點 M為 AF中點， ∴ ME= AG． ∵ CG=CF= a， CA=CD= a， ∴ AG=DF= a， ∴ BM=ME= a