【文章內(nèi)容簡介】 出來．若報出來的數(shù)如圖所示，則報3的人心里想的數(shù)是 ． 【答】． 解：設(shè)報3的人心里想的數(shù)是，則報5的人心里想的數(shù)應(yīng)是．于是報7的人心里想的數(shù)是 ，報9的人心里想的數(shù)是 ，報1的人心里想的數(shù)是 ，報3的人心里想的數(shù)是．所以 ，解得．三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．已知拋物線與動直線有公共點(diǎn)，且. （1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍； （2）當(dāng)t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）聯(lián)立與，消去y得二次方程 ①有實(shí)數(shù)根，則．所以 =＝． ② ………………5分把②式代入方程①得． ③ ………………10分t的取值應(yīng)滿足≥0， ④且使方程③有實(shí)數(shù)根，即＝≥0， ⑤解不等式④得 ≤3或≥1，解不等式⑤得 ≤≤.所以，t的取值范圍為≤≤. ⑥………………15分(2) 由②式知.由于在≤≤時是遞增的，所以，當(dāng)時,. ………………20分12．已知正整數(shù)滿足，且，求滿足條件的所有可能的正整數(shù)的和．解：由可得．，且． ………………5分因為是奇數(shù)，所以等價于，又因為，所以等價于．因此有，于是可得． ………………15分又，所以．因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù)的和為11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分 13．如圖，給定銳角三角形ABC，AD，BE是它的兩條高，過點(diǎn)作△ABC的外接圓的切線，過點(diǎn)D，E分別作的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論．解法1：結(jié)論是．下面給出證明． ………………5分因為，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得．同理可得 ． （第13A題） ………………10分又因為，所以有，于是可得． ………………20分解法2：結(jié)論是．下面給出證明． ……………… 5分（第13A題）連接DE，因為，所以A，B，D，E四點(diǎn)共圓，故． ………………10分又l是⊙O的過點(diǎn)C的切線，所以． ………………15分所以，于是DE∥FG，故DF＝EG． ………………20分14．n個正整數(shù)滿足如下條件：；且中任意n－1個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)．求n的最大值．解：設(shè)中去掉后剩下的n－1個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)，．即 ．于是，對于任意的1≤≤n，都有，從而 ． ………………5分由于 是正整數(shù)，故 ． ………………10分由于 ≥，所以，≤2008，于是n ≤45. 結(jié)合，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令，…，，則這9個數(shù)滿足題設(shè)要求． 綜上所述，n的最大值為9. ………………20分中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“《數(shù)學(xué)周報》杯”2010年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．若，則的值為（ ）．（A） （B） （C） （D）解： 由題設(shè)得．代數(shù)式變形，同除b2．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是 （ ）．（A）a （B）a4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4解．C因為b是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式 ≥0,解得a≤或 a≥4．方程思想，未達(dá)定理；要解一元二次不等式3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135176。，∠C＝120176。，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為（ ）．（A） （B）（第3題）（C） （D）解：D如圖，過點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．由已知可得（第3題）BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是 EF＝4＋．過點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得AD＝．勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡，補(bǔ)全圖形法4．在一列數(shù)……中，已知，且當(dāng)k≥2時，（取整符號表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由和可得，，，，……因為2010=4502+2，所以=2．高斯函數(shù)；找規(guī)律。5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180176。得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180176。得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180176。得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180176。得點(diǎn)P4，……，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2，…， 則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是（ ）． （第5題）（A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2）解：B由已知可以得到，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，）．記，其中．根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：，，．令，同樣可以求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4502+2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（2010，）．二、填空題6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ． 解：0 由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝ ．解：15設(shè)在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得， ①， ② ． ③由①②，得，所以，x=30． 故 （分）． （第8題8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是 ．（第8題）解：如圖，延長BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點(diǎn)N．由已知得點(diǎn)M（2，3）是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因為點(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．于是，直線即為所求的直線．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則解得 ,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．（第9題）9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則 ． 解： 見題圖，設(shè)．因為Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ．又因為 FC＝DC＝AB，所以 即 ，解得，或（舍去）．又Rt△∽Rt△，所以， 即=．10．對于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為 ．解： 因為為的倍數(shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)．由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為． 三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF. 求證： （第12A題）．（第12B題） （第11題）（第12B題）證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D. 因為BE和CF都是直徑，所以ED⊥BC， FD⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線. …………（5分）連接AE，AF，則（第11題），所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得，從而 ， 所以 . …………（20分）12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).（第12題）解：（1）因為點(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4. 故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有 解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．因為點(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，所以 解得 …………（10分）（2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，