【正文】 △∽△． ………………15分14（B）．證明：對任意三角形，一定存在兩條邊，它們的長u，v滿足1≤．證明：設(shè)任意△ABC的三邊長為a，b，c，不妨設(shè)．若結(jié)論不成立，則必有≥， ≥． ………………5分 記，顯然，代入得≥，≥，令，則≥． 由，得，即，于是．由得≥， 由，得≥≥，此式與矛盾．從而命題得證． ………………15分中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題班級__________學(xué)號__________姓名______________得分______________一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分．以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項(xiàng)，其中有且只有一個選項(xiàng)是正確的，請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里．不填、多填或錯填都得0分）1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足：－＝3，y4＋y2＝3，則＋y4的值為 （　?。ˋ）7 （B） （C） （D）52．把一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為m，n，則二次函數(shù)y＝x2＋mx＋n的圖象與x軸有兩個不同交點(diǎn)的概率是 （　?。ˋ） （B） （C） （D）3．有兩個同心圓，大圓周上有4個不同的點(diǎn)，小圓周上有2個不同的點(diǎn)，則這6個點(diǎn)可確定的不同直線最少有 （　?。ˋ）6條 （B）8條 （C）10條 （D）124．已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB＝a＜1．以AB為一邊在圓O內(nèi)作正△ABC，點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB＝AB＝a，DC的延長線交圓O于點(diǎn)E，則AE的長為 （　　）（A）a （B）1 （C） （D）a5．將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么滿足要求的排法有 （　?。ˋ）2種 （B）3種 （C）4種 （D）5種二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6．對于實(shí)數(shù)u，v，定義一種運(yùn)算“*”為：u*v＝uv＋v．若關(guān)于x的方程x*（a*x）＝－有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．7．小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車．假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是_____分鐘．8．如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，MF∥AD，則FC的長為______．9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，過△ABC的內(nèi)切圓圓心I作DE∥BC，分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，則DE的長為______．10．關(guān)于x，y的方程x2＋y2＝208(x－y)的所有正整數(shù)解為________．三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11．在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得△OAB的面積值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面積的最小值．12．是否存在質(zhì)數(shù)p，q，使得關(guān)于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理數(shù)根？13．是否存在一個三邊長恰是三個連續(xù)正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角2倍的△ABC？證明你的結(jié)論．14．從1，2，…，9中任取n個數(shù)，其中一定可以找到若干個數(shù)（至少一個，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n的最小值．簡答：一． 選擇題 ACBBD；二． 填空題 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9. ； 10. x＝48， x ＝160， y＝32； y＝32．三．解答題：11. （1）k＝，b ＞ 2； （2）當(dāng) b＝2＋， k＝－1時，△OAB面積的最小值為7＋2； 12. 存在滿足題設(shè)條件的質(zhì)數(shù)p，q. 當(dāng)p＝2，q＝5時，方程2x2－5x＋ 2＝0 的兩根為 x1＝， x2＝2. 它們都是有理數(shù)； 13. 存在滿足條件的三角形. △ABC的邊 a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B. 14. n 的最小值是5，當(dāng)n=4時，數(shù)1，3，5，8中沒有若干個數(shù)的和能被10整除．（5分）當(dāng)n=5時，設(shè)a1，a2，a5是1，2，…，9中的5個不同的數(shù)．若其中任意若干個數(shù)，它們的和都不能被10整除，則a1，a2，a5中不可能同時出現(xiàn)1和9；2和8；3和7；4和6．于是a1，a2，…，a5中必定有一個數(shù)是5．若a1，a2，…，a5中含1，則不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍數(shù)，矛盾．若a1，a2，…，a5中含9，則不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3；于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍數(shù)，矛盾．綜上所述，n的最小值為5．（15分）中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項(xiàng)，其中有且只有一個選項(xiàng)是正確的. 請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．已知非零實(shí)數(shù)a，b 滿足 ，則等于（ ）．（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．解：由題設(shè)知a≥3，所以，題設(shè)的等式為，于是，從而＝1． 2．如圖，菱形ABCD的邊長為a，點(diǎn)O是對角線AC上的一點(diǎn)，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，則a等于（ ）．（第2題）（A） （B） （C）1 （D）2【答】A． 解：因?yàn)椤鰾OC ∽ △ABC，所以，即 ，所以， ．由，解得．3．將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答】D．解：當(dāng)時，方程組無解．當(dāng)時，方程組的解為由已知，得即或由，的實(shí)際意義為1，2，3，4，5，6，可得共有 52＝10種情況；或共3種情況．又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共66＝36種情況，故所求的概率為．4．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，. 動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿梯形的邊由B→C→D→A運(yùn)動. 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x，△ABP的面積為y. 把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（ ）．（A）10 （B）16 （C）18 （D）32（第4題）圖2圖1 【答】B．解：根據(jù)圖像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，進(jìn)而求得AB＝8，故S△ABC＝84＝16.5．關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（ ）．（A）2組 （B）3組 （C）4組 （D）無窮多組 【答】C．解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為 ．由于該方程有整數(shù)根，則判別式≥，且是完全平方數(shù)．由 ≥，解得 ≤．于是01491611610988534顯然，只有時，是完全平方數(shù)，符合要求．當(dāng)時，原方程為，此時；當(dāng)y＝－4時，原方程為，此時．所以，原方程的整數(shù)解為 二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎．如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報(bào)廢，那么這輛車將能行駛 km ．【答】3750．解：設(shè)每個新輪胎報(bào)廢時的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為, km，交換位置后走了y ,有 兩式相加，得 ，則 ．7．已知線段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點(diǎn)D，使得BD＝AC；再以點(diǎn)D為圓心，DA的長為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H，則的值為 ．解：如圖，延長AD與⊙D交于點(diǎn)E，連接AF，EF ．由題設(shè)知，在△FHA和△EFA中，所以 Rt△FHA∽Rt△EFA， . （第7題）而，所以.8．已知是滿足條件的五個不同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為 ．【答】 10．解：因?yàn)椋沂俏鍌€不同的整數(shù)，所有也是五個不同的整數(shù)．又因?yàn)椋裕?，可得?．如圖，在△ABC中，CD是高，CE為的平分線．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，則CE的長等于 ．【答】．解：如圖，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB為直角三角形，且．作EF⊥BC，垂足為F．設(shè)EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以 ，（第9題）即 ，解得．所以．（第10題）10．10個人圍成一個圓圈做游戲．游戲的規(guī)則是：每個人心里都想好一個數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)