(重要)高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項(xiàng)和七種求和方法-練習(xí)及答案(編輯修改稿)
2024-08-31 18:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 已知數(shù)列 滿足 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。{}na1 1(42)6nnnaa????， {}na解：令 ，則124nnb?2)nb?故 ，代入 得11()nna???1(412)6nnnaa???221[4()]46nnnbb?即 221(3)n?因?yàn)?，故40nnba??11240nnba????則 ，即 ，可化為 ，123n?13nn13()2nnb??九、不動(dòng)點(diǎn)法例 13 已知數(shù)列 滿足 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。{}na1124nna??， {}na解：令 ，得 ，則 是函數(shù) 的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因214x??20x123x?， 214()xf???為 1224142(1)326133933nn nnnnnaaa???????? 8 十、倒數(shù)法 112nnaa??，求 n4. 求數(shù)列前 n 項(xiàng)和的常用方法一、公式法 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 等差數(shù)列求和公式： dnanS2)1(2)(11???等比數(shù)列求和公式： ???????)()(11 qqnnn )(21???kSn )12(612???nkSn 213)]([?nk[例 1]求 的前 n 項(xiàng)和.????nxx32[例 2] 設(shè) Sn＝1+2+3+…+n ，n∈N *,求 )32()??nSf二、錯(cuò)位相減法（等差乘等比） [例 3] 求和： 132)(7531?????nn xxS[例 4] 求數(shù)列 前 n 項(xiàng)的和.??,2,64,23解：由題可知，{ }的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{ }的通項(xiàng)之積n n21設(shè) …………………………………①nnS32????………………………………② （設(shè)制錯(cuò)位）14261①－②得 （錯(cuò)位相減 ）1432)2( ????nn 1???n ∴ 24nS三、倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列 9 相加，就可以得到 n 個(gè) .)(1na?[例 5] 求證： nnCC2)1()2(5320 ???證明： 設(shè) ………………………….. ①nnnS1?? 把①式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得 （反序）0113)2()( nnnn ???? 又由 可得mnC?? …………..…….. ②nnn CS??110)()1( ①+②得 （反序相加）nn2)1()20 ????? ∴ nn)(??[例 6] 求 的值????? 89sii3sii1sin 22222 ??解：設(shè) …………. ①????? in2???S將①式右邊反序得 …………..② （反序） ????? 1sii3sin8sin9si 22222??? 又因?yàn)?co),0co(???xxx? ①+②得 （反序相加）＝89 )89cos(sin)2s(sin)1(sin2 22222 ?????? ????S∴ S＝四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例 7] 求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和： ，…231,7,412????naa[例 8] 求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 項(xiàng)和.解：設(shè) kkak??23)1( ∴ ＝???nkS12)(231nk??將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 Sn＝ nknkk???12131 （分組）五、裂項(xiàng)法求和 10 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解 （裂項(xiàng)） 如：（1） （2）)(1(nffan??? ???? nnta)1ta()cos(1i ???（3） （4）)(n )12()2(?an（5） ])(1)([21)( ?????an(6) nnnnnn S2)1(,2)()()( 1 ?????????? 則[
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