【文章內(nèi)容簡介】 將隨基礎(chǔ)風(fēng)險的降低而嚴格上升。之后，Nell和Richter又分析了在基礎(chǔ)風(fēng)險程度一定的情況下，在什么價格下對指數(shù)巨災(zāi)債券的需求將為零。他們得出的結(jié)論是：條件觸發(fā)概率和無任何風(fēng)險分散情況下的邊際效用的協(xié)方差的提高，將會增大直接保險人愿意為指數(shù)巨災(zāi)債券所付的成本（或價格）。我們將在擴展后的模型框架下討論這些問題，并根據(jù)新引進的變量得出附加結(jié)論。在我們的分析中，我們采用與加成保費定價相似的思路，假設(shè)發(fā)行指數(shù)巨災(zāi)債券的總成本是：比例加成（m）反映發(fā)行成本。與Nell和Richter的模型類似，在以上分析框架下最優(yōu)的指數(shù)巨災(zāi)債券需求是下面的最優(yōu)問題的解： (5) 其中是初始財富，表示（三階連續(xù)可微）的直接保險人的效用函數(shù)（0，0）。在這里我們對該期望效用最大化問題有兩個決策變量作出解釋：直接保險人在設(shè)計發(fā)行指數(shù)巨災(zāi)債券時，不僅要選擇觸發(fā)指數(shù)y，還要設(shè)定在觸發(fā)事件發(fā)生時他將得到的義務(wù)豁免額。前者將決定直接保險人得到義務(wù)豁免的可能性有多大，后者將決定他能夠得到多少義務(wù)豁免額，即他能從指數(shù)巨災(zāi)債券中得到多少對其直接損失的補償。換句話說，也就是A(y)不完全取決于y，還取決于函數(shù)的形式及其他因素。內(nèi)部解的一階條件為： (6)和 (7) 其中。由Nell和Richter的模型的結(jié)論我們可以知道：（1）巨災(zāi)債券的觸發(fā)指數(shù)一定的條件下，如果直接保險人對指數(shù)巨災(zāi)債券的最優(yōu)需求是正的，那么它將隨所包含的基礎(chǔ)風(fēng)險的降低而嚴格上升。（2）在以上假設(shè)條件下，直接保險人對指數(shù)巨災(zāi)債券的需求為正（）的充分必要條件是 （8）特別注意（8）式右邊的表達式。由于 （9）這個式子意味著我們可以對進行一個變形，這個變形保持均值不變的同時提高了條件觸發(fā)概率和無風(fēng)險分散情況下的邊際效用的協(xié)方差的，這將會增大直接保險人愿意為指數(shù)巨災(zāi)債券所付的成本。 對這兩個命題的詳細討論參見”Improving Risk Allocation Through Indexed Cat Bonds”, Martin Nell and Andreas Richter, The Geneva Paper on Risk and Insurance (April 2004), 183201.接下來我們討論直接保險人對指數(shù)巨災(zāi)債券需求同觸發(fā)指數(shù)y的相互關(guān)系?！久}1】（1）對于足夠小的損失x，特別地，時，直接保險人對指數(shù)巨災(zāi)債券的需求A(y)對y的反應(yīng)方向與觸發(fā)概率p(y)對y的反應(yīng)方向相反，且二者彈性的絕對值相等，即。 （10）（2）對于足夠大的損失x，特別地，時，直接保險人對指數(shù)巨災(zāi)債券的需求A(y)對y的反應(yīng)方向與觸發(fā)概率p(y)對y的反應(yīng)方向相同，且二者的彈性關(guān)系為：。 （11）證明：見附錄。命題1給出了一個并不是十分直觀的結(jié)論。我們可以認為觸發(fā)指數(shù)y越小，觸發(fā)事件越容易發(fā)生，直接保險人即使遭到更小額的損失x也能從發(fā)行的指數(shù)巨災(zāi)債券中得到“補償”，而這樣的巨災(zāi)債券設(shè)計并不吻合直接保險人分散巨災(zāi)風(fēng)險的本意。所以對于相對小額的風(fēng)險損失，觸發(fā)指數(shù)y越高，觸發(fā)事件的發(fā)生越“需要”更高的損失x，越適于分散高額的巨災(zāi)風(fēng)險，直接保險人對這種風(fēng)險管理工具的需求越大。這個直觀解釋也從Nell和Richter的模型中得到了印證。而對于足夠大的損失x，指數(shù)巨災(zāi)債券是適用的風(fēng)險分散工具。而觸發(fā)指數(shù)y越大，直接保險人越不容易從指數(shù)巨災(zāi)債券中得到巨災(zāi)風(fēng)險損失的補償，這種產(chǎn)品對其吸引力越弱，直接保險人對它的需求越小。從該命題也可看出，指數(shù)巨災(zāi)債券的需求是和觸發(fā)概率密切聯(lián)系的，它們對y的彈性高度相關(guān)。直接保險人對再保險的需求分析在對巨災(zāi)再保險的分析中，我們必須結(jié)合直接保險人和再保險人的期望效用情況。與直接保險人類似，我們假定再保險人也是風(fēng)險厭惡的，他具有三階連續(xù)可微的效用函數(shù)（0，0）。再保險保費用P表示，表示當(dāng)存在觸發(fā)指數(shù)為y的指數(shù)巨災(zāi)債券時，直接保險人可從再保險中得到的對其直接損失x的補償，即為補償函數(shù)。我們首先考慮直接保險人只運用再保險作為巨災(zāi)風(fēng)險分散的工具時的情況。運用Raviv（1979）的文章 “The Design of an Optimal Insurance Policy”, Artur Raviv, The American Economic Review, , (), 8496.中的思路，最優(yōu)的再保險補償函數(shù)是下面的最大化問題的解： （12）和分別是給予直接保險人的預(yù)期效用和再保險人的期望效用的權(quán)數(shù)，是再保險人的初始財富。用和代表上述期望效用最大化問題的解。在這里，雖然存在著指數(shù)巨災(zāi)債券這種風(fēng)險分散的工具，但是由于直接保險人沒有利用它，而只采用了再保險，故這種情況和單純的對再保險的分析是相同的，實際上并不受y的影響。根據(jù)Raviv（1979）文章的討論，具有以下性質(zhì)：；對 （13）指數(shù)巨災(zāi)債券和再保險風(fēng)險管理工具的組合仍與Nell和Richter文中的思路相似，最后，我們考慮直接保險人組合運用指數(shù)巨災(zāi)債券和再保險兩種風(fēng)險管理工具的情況。在這里，考慮指數(shù)巨災(zāi)債券的引入對直接保險人的再保險需求有怎樣的影響。先保持再保險預(yù)算不變，即我們假定在引入指數(shù)巨災(zāi)債券情形下，仍保持花在再保險上的保費不變，這使我們可以集中研究引入指數(shù)巨災(zāi)債券對理想再保險合同的結(jié)構(gòu)上的影響。這時最優(yōu)的風(fēng)險管理組合是下面的期望效用最大化問題的解： ； 且對 （14）設(shè)該問題的補償函數(shù)最優(yōu)解為，它為內(nèi)部解的一階條件是：7 （15）在這個分析框架下，我們可以得出與Nell和Richter文中相同的結(jié)論。雖然與之相比沒有什么創(chuàng)新之處，我們在這里仍以一個命題的形式闡述它，并在附錄中給出證明?！久}2】（1）當(dāng)觸發(fā)指數(shù)y一定時，對于足夠小的損失x，大于。即意味著。特別地，當(dāng)x=0時，=0。對于足夠大的損失x，特別地時。 （2）如果直接保險人是謹慎的，即，對于滿足的x，有。證明：見附錄。這個命題是很好理解的：當(dāng)我們保持再保險預(yù)算不變的同時引入指數(shù)巨災(zāi)債券時，如前面討論的，巨災(zāi)債券更適合于“補償”大額的風(fēng)險損失，同時也為直接保險人帶來了基礎(chǔ)風(fēng)險。所以它會對原來的再保險產(chǎn)生結(jié)構(gòu)上的影響。對于小額的風(fēng)險損失，巨災(zāi)債券的“賠償”不容易被觸發(fā)，不能很好地補償直接保險人的風(fēng)險損失，同時它還給直接保險人帶來了額外的基礎(chǔ)風(fēng)險。所以這時直接保險人需要更多的再保險來分散它。從命題我們可以看出，即使當(dāng)實際損失為0時，