【文章內(nèi)容簡介】 可以很容易地表示兩個簡諧振動的相位差。 ? 在簡諧振動過程中 ,相位 隨時間線性變化，變化速率為角頻率 。即在時間間隔內(nèi)，相位變化為 。把握住這一點，配合旋轉(zhuǎn)矢量圖，就可以巧妙地解決一些看來似乎困難的問題。 ωt φ?ωΔ Δφ ω t?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 例 93 用旋轉(zhuǎn)矢量法求解上例中的初相 φ及物體從初位置運動到第一次經(jīng)過 處時的時間。 ? 解 （ 1）根據(jù)初始條件畫出振幅矢量的初始位置如圖 97 ? 由圖可得 （ 2）從振幅矢量圖 98可知：從初位置 x0 運動到第一次經(jīng)過 x = 處時，旋轉(zhuǎn)矢量 ? 轉(zhuǎn)過的角度是 ，這就是兩者的相位差，由于振幅矢 ? 量的角速度為 ，所以可得到所需的時間 2A?0 0 0 2 10 0 4 2 3x . πφ a r c c o s a r c c o s a r c c o sA.? ? ? ?2A?2 33π ππ ??Δ 3Δ 15πφ πt ω ?＝ ＝ ＝ω景德鎮(zhèn)高專物理系 景德鎮(zhèn)高專物理系 景德鎮(zhèn)高專物理系 6. 振動曲線 ? 簡諧振動的位置 x隨時間 t的變化關(guān)系曲線叫做振動曲線，又稱 x – t圖。由式 94可知，它是一條余弦（或正弦）曲線。 x– t圖和前面討論過的旋轉(zhuǎn)矢量圖一樣，是描述簡諧振動的一種幾何工具，它形象而直觀地反映出一個特定的諧振動的運動規(guī)律，還可方便地對幾個諧振動作出比較。 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 例 94 質(zhì)量為 kg的物體懸于彈簧的下端。把物體從平衡位置向下拉 m后釋放，測得其周期為 2 s ，見圖 99（ a）。試求 ? （ 1）物體的振動方程； ? （ 2）物體首次經(jīng)過平衡位置時的速度； ? （ 3）第二次經(jīng)過平衡位置時的速度； ? （ 4）物體從平衡位置下方 m處向上運動到平衡位置上方 m處所需的最短時間 景德鎮(zhèn)高專物理系 圖 99（ a） 圖 99（ b） 圖 99（ c） 圖 99（ d） 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 解 以彈簧掛上物體后的平衡位置為坐標原點，向上作為 Y軸的正方向。 ? 已知 T = 2 s，則 以釋放物體時作起始時刻，有 t = 0時， y0 = － m， v0 = 0 ， 則 ? ? 所以 或 因為 y0為負值，故 得彈簧振動的振動方程為 ? Y = cos（ π t + π）（ m） ? 若向下作為 Y軸的正方向， y0為正值， φ應(yīng)取 0，彈簧的振動方程則為 ? Y = cosπ t （ m） ? 可見，對于同一個簡諧振動，選取不同的坐標系，將會有不同形式的運動方程 2πω π r a d sT?? ／220000010vA y . mωvtg φy ω? ? ???（ ）0φ? φ π? φ π?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? (1)由旋轉(zhuǎn)矢量圖 99（ b）可知，物體首次經(jīng)過平衡位置的相位為（ ωt +φ） = ，此時的速度為 ? 速度的方向向上，與坐標正方向相同。 ? (2)由旋轉(zhuǎn)矢量圖 99（ c）可知，物體第二次經(jīng)過平衡位置上方 5cm處的相位為 ? （ ωt +φ） = ，此時的加速度為 ? 負號表示加速度的方向與 Y軸正方向相反，即指向中心 O。 13ω 0 3 1 42v A s i n π A ω . m s ?? ? ? ? ?2 2 20 4 9 332πaA ω c o s A ω . m s ?? ? ? ?１ 32π3π景德鎮(zhèn)高專物理系 ? （ 4） 由旋轉(zhuǎn)矢量圖 99（ d）可知，在平衡位置下方 5cm處并向上運動時的相位為 ? （ ωt1 + φ） = ，當物體第一次經(jīng)過平衡位置上方 5cm處時的相位為（ ωt2 + φ） = ， ? 在此過程中物體經(jīng)歷的相位變化為 ? 即 （ ωt2 + φ）－（ ωt1 + φ）= 所需要的時間為 5 4 1Δ 3 3 3φ π π π? ? ?53π43π21 Δ 0 . 3 3φt t sω? ? ?3π景德鎮(zhèn)高專物理系 簡諧振動的能量 simple harmonic vibration energy ? 現(xiàn)在我們以圖 91的水平彈簧振子為例來說明振動系統(tǒng)的能量。 ? 設(shè)在某一時刻，物體的位置是 x ，速度為 v，由（ 94）及（ 94a），我們知道振子的位置 x及速度v分別為 ? 此時系統(tǒng)除了具有動能以外，還具有勢能。振動物體的動能為 ? Ek = （ 99） ? 如果取物體在平衡位置的勢能為零，則彈性勢能為 ? Ep = （ 910） c o s +x = A ω t φ（ ） s i nv= ω A ω t φ?－ （ ）2 2 2 21122m v m ω A s i n ω t φ??（ ）221122kx kA? 2cos ωt φ?（ ）景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 式（ 99）和式（ 910）說明物體作簡諧振動時，其動能和勢能都是隨時間 t作周期性變化。位移最大時，勢能達最大，動能為零；物體通過平衡位置時，勢能為零，動能達最大值。由于在運動過程中，彈簧振子不受外力和非保守內(nèi)力的作用，其總的機械能守恒 ? E = Ek + Ep = + 以式（ 92）： 代入，則上式簡化為 2 2 212 m ω A s i n ω t φ?（ ） 212kA 2c o s ω t φ?（ ）2k ωm? 212E kA?景德鎮(zhèn)高專物理系 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 上式說明：諧振系統(tǒng)在振動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能也都分別隨時間發(fā)生周期性變化，它們之間在不斷地相互轉(zhuǎn)換。但在任意時刻動能和勢能的總和即總的機械能在振動過程中卻始終保持為一個常量。即系統(tǒng)的總機械能是守恒的。簡諧振動系統(tǒng)的總能量和振幅的平方成正比，這一結(jié)論對于任一諧振系統(tǒng)都是正確的。如圖（ 910）。 ? 上面我們是從簡諧振動的運動學(xué)方程出發(fā)得出諧振系統(tǒng)的總機械能守恒這一結(jié)論的，這一結(jié)論我們也可以用簡諧振動的動力學(xué)方程導(dǎo)出。 ? 由式 91有 ? 兩邊乘以 dx，得 22dxm k xdt ??景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 或 ? 即 mvdv = － kxdx ? 設(shè)初始時刻振子的位置是 x0，速度是 v0，對上式兩邊積分到任一時刻的位置 x和速度 v，即 ? 得 等式右邊兩項之和就是初始時刻振子系統(tǒng)的總機械能 E，即 ? 式中 是彈簧振子的動能， 是彈簧振子的彈性勢能。把式 94和式 94a代入即可得 ? + = E ? 再代以 ，即得 2 2dxm d x k x d xdt ?? dvm d x k x d xdt ??00vxm v d v k x d x????2 2 2 2022 1 1 12 2 2 2m v k x m v k x? ? ?221122m v k x E??212mv212kx2 2 212 m ω A s i n ω t φ?（ ）212kA 2cos ωt φ?（ ）2k ωm?212E kA?景德鎮(zhèn)高專物理系 簡諧振動的合成 simple harmonic vibration resultant ? 在實際問題中，常會遇到一個質(zhì)點同時參與幾個振動的情況。例如，當兩列聲波同時傳播到空間某一處，則該處空氣質(zhì)點就同時參與這兩個振動。根據(jù)運動疊加原理，這時質(zhì)點所作的運動實際上就是這兩個振動的合成。就是說，物體在任意時刻的位置矢量為物體單獨參與每個分振動的位置矢量之和，即 ? r = r1 + r2 + r3 +… ? 一般的振動合成問題比較復(fù)雜，下面我們只研究幾種特殊情況的諧振動合成。 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 1. 同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成 ? 設(shè)一質(zhì)點在一直線上同時參與兩個獨立的同頻率的簡諧振動?，F(xiàn)在取這一直線為 x軸，以質(zhì)點的平衡位置為原點，由于它們的角頻率 ω相同，故在任一時刻 t，這兩個振動的位移分別為 ? 式中 A A2和 φ φ2分別表示這兩個振動的振幅和初相位。既然 x1和 x2都是表示在同一直線方向上、距同一平衡位置的位移，所以合位移 x仍在同一直線上，而為上述兩個位移的代數(shù)和，即 ? x = x1 + x2 = + 1 1 1c o s +x = A ω t φ（ ） 2 2 2c o s +x = A ω t φ（ ）11co s +A ω t φ（ ） 22c o s +A ω t φ（ ）景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 應(yīng)用三角函數(shù)的等式關(guān)系將上式展開，可以化成 ? 式中 A和 φ的值分別為 ? （ 911） ? （ 912） c o sxA ω t φ??（ ）221 2 1 2 2 12 c o sA A A A A φ φ? ? ? ?（ ）1 1 2 21 1 2 2A s i n φ A s i n φφ a r c t g A c o s φ A c o s φ?? ?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 這說明合振動仍是簡諧振動，其振動方向和頻率都與原來的兩個振動相同。 應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量圖，可以很方便地得到上述兩簡諧振動的合振動。如圖 911所示， A1和 A2 為代表兩簡諧振動的振幅矢量，由于它們以相同的角速度ω繞 O點沿逆時針轉(zhuǎn)動，因此它們之間的夾角（ φ2 － φ1）保持恒定，所以在旋