【正文】 示這兩個振動的振幅和初相位。就是說，物體在任意時刻的位置矢量為物體單獨參與每個分振動的位置矢量之和，即 ? r = r1 + r2 + r3 +… ? 一般的振動合成問題比較復(fù)雜，下面我們只研究幾種特殊情況的諧振動合成。例如，當(dāng)兩列聲波同時傳播到空間某一處，則該處空氣質(zhì)點就同時參與這兩個振動。 ? 由式 91有 ? 兩邊乘以 dx，得 22dxm k xdt ??景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 或 ? 即 mvdv = － kxdx ? 設(shè)初始時刻振子的位置是 x0，速度是 v0，對上式兩邊積分到任一時刻的位置 x和速度 v，即 ? 得 等式右邊兩項之和就是初始時刻振子系統(tǒng)的總機械能 E，即 ? 式中 是彈簧振子的動能， 是彈簧振子的彈性勢能。如圖（ 910）。即系統(tǒng)的總機械能是守恒的。由于在運動過程中，彈簧振子不受外力和非保守內(nèi)力的作用，其總的機械能守恒 ? E = Ek + Ep = + 以式（ 92）： 代入，則上式簡化為 2 2 212 m ω A s i n ω t φ?（ ） 212kA 2c o s ω t φ?（ ）2k ωm? 212E kA?景德鎮(zhèn)高專物理系 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 上式說明：諧振系統(tǒng)在振動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能也都分別隨時間發(fā)生周期性變化，它們之間在不斷地相互轉(zhuǎn)換。振動物體的動能為 ? Ek = （ 99） ? 如果取物體在平衡位置的勢能為零，則彈性勢能為 ? Ep = （ 910） c o s +x = A ω t φ（ ） s i nv= ω A ω t φ?－ （ ）2 2 2 21122m v m ω A s i n ω t φ??（ ）221122kx kA? 2cos ωt φ?（ ）景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 式（ 99）和式（ 910）說明物體作簡諧振動時，其動能和勢能都是隨時間 t作周期性變化。 13ω 0 3 1 42v A s i n π A ω . m s ?? ? ? ? ?2 2 20 4 9 332πaA ω c o s A ω . m s ?? ? ? ?１ 32π3π景德鎮(zhèn)高專物理系 ? （ 4） 由旋轉(zhuǎn)矢量圖 99（ d）可知，在平衡位置下方 5cm處并向上運動時的相位為 ? （ ωt1 + φ） = ，當(dāng)物體第一次經(jīng)過平衡位置上方 5cm處時的相位為（ ωt2 + φ） = ， ? 在此過程中物體經(jīng)歷的相位變化為 ? 即 （ ωt2 + φ）－（ ωt1 + φ）= 所需要的時間為 5 4 1Δ 3 3 3φ π π π? ? ?53π43π21 Δ 0 . 3 3φt t sω? ? ?3π景德鎮(zhèn)高專物理系 簡諧振動的能量 simple harmonic vibration energy ? 現(xiàn)在我們以圖 91的水平彈簧振子為例來說明振動系統(tǒng)的能量。 ? 已知 T = 2 s，則 以釋放物體時作起始時刻，有 t = 0時， y0 = － m， v0 = 0 ， 則 ? ? 所以 或 因為 y0為負(fù)值，故 得彈簧振動的振動方程為 ? Y = cos（ π t + π）（ m） ? 若向下作為 Y軸的正方向， y0為正值， φ應(yīng)取 0，彈簧的振動方程則為 ? Y = cosπ t （ m） ? 可見，對于同一個簡諧振動，選取不同的坐標(biāo)系，將會有不同形式的運動方程 2πω π r a d sT?? ／220000010vA y . mωvtg φy ω? ? ???（ ）0φ? φ π? φ π?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? (1)由旋轉(zhuǎn)矢量圖 99（ b）可知，物體首次經(jīng)過平衡位置的相位為（ ωt +φ） = ，此時的速度為 ? 速度的方向向上，與坐標(biāo)正方向相同。把物體從平衡位置向下拉 m后釋放，測得其周期為 2 s ，見圖 99（ a）。 x– t圖和前面討論過的旋轉(zhuǎn)矢量圖一樣，是描述簡諧振動的一種幾何工具，它形象而直觀地反映出一個特定的諧振動的運動規(guī)律，還可方便地對幾個諧振動作出比較。 ? 解 （ 1）根據(jù)初始條件畫出振幅矢量的初始位置如圖 97 ? 由圖可得 （ 2）從振幅矢量圖 98可知：從初位置 x0 運動到第一次經(jīng)過 x = 處時，旋轉(zhuǎn)矢量 ? 轉(zhuǎn)過的角度是 ，這就是兩者的相位差，由于振幅矢 ? 量的角速度為 ，所以可得到所需的時間 2A?0 0 0 2 10 0 4 2 3x . πφ a r c c o s a r c c o s a r c c o sA.? ? ? ?2A?2 33π ππ ??Δ 3Δ 15πφ πt ω ?＝ ＝ ＝ω景德鎮(zhèn)高專物理系 景德鎮(zhèn)高專物理系 景德鎮(zhèn)高專物理系 6. 振動曲線 ? 簡諧振動的位置 x隨時間 t的變化關(guān)系曲線叫做振動曲線，又稱 x – t圖。把握住這一點，配合旋轉(zhuǎn)矢量圖，就可以巧妙地解決一些看來似乎困難的問題。 ? 在簡諧振動過程中 ,相位 隨時間線性變化，變化速率為角頻率 。必須注意，旋轉(zhuǎn)矢量本身并不在作諧振動，而是旋轉(zhuǎn)矢量端點在 OX軸上的投影點在作諧振動。它們之間的對應(yīng)關(guān)系是：旋轉(zhuǎn)矢量的長度 A為投影點簡諧振動的振幅；旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動角速度為簡諧振動的角頻率 ；而旋轉(zhuǎn)矢量在 t時刻與 OX軸的夾角（ ）便是簡諧振動運動方程中的相位；φ角是起始時刻旋轉(zhuǎn)矢量與 OX軸的夾角，就是初相位。矢量 A轉(zhuǎn)一圈所需的時間就是簡諧振動的周期。因而，作勻速轉(zhuǎn)動的矢量 A，其端點 M在 x軸上的投影點 P的運動是簡諧振動。在此矢量轉(zhuǎn)動過程中，矢量的端點 M在 OX軸上的投影點 P便不斷地以 O為平衡位置往返振動。 2A? 3πωt ? ω ωt和3s i n 0 . 0 4 5 s i n 0 . 1 7 33 3 1 0π π πvA ω ω t m s? ? ? ? ? ? ? － １－ （ ） ＝ － （ ） ＝ － －３景德鎮(zhèn)高專物理系 5. 簡諧振動的矢量圖示法 ? 為了直觀地領(lǐng)會簡諧振動中 A、 三個物理量的意義，并為后面討論簡諧振動的疊加提供簡捷的方法，我們介紹簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法。 ? 角頻率 振幅和初相由初始條件 x 0及 v0決定，已知 x 0 = m， v0 = 由式（ 98）得 ? ? 據(jù)題意 x0為正， v0為負(fù)， 150 52kω r a d sm ?? ? ? ?2A?1310ms??－220220 22003100 .0 2 0 .0 45310 35 0 0 2vA x mωvφ a rc tg a rc tg a rc tgω x.? ? ????（ － ）＝ ＋－＝3πφ ?故景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 將 A、 代入諧振動方程 中，可得 ? （ 2）欲求 x =處的速度，需先求出物體從初位置運動到第一次抵達(dá)處的相位。 ? 例 92 如圖 91所示，一輕彈簧的勁度系數(shù) k = 50 ，今將質(zhì)量為 2 kg的物體，從平衡位置向右拉長到 x 0 = m處，并以 v 0 =的速度開始運動，試求： 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? (1)諧振動方程； (2)物體從初位置運動到第一次經(jīng)過 處時的速度。上述結(jié)果說明，對一定的彈簧振子（即為已知量），它的振幅 A和初相 φ是由初始條件決定的。由式（ 94）和（ 94a）可得 ? 由上兩式可得 A、 φ的唯一解是 ? } （ 98） 0 =x A co sφ0v ω A s in φ? －2020 200vAxωvφ a r c t gω x＝ ＋－＝景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 其中 φ所在象限可由 x0及 v0的正負(fù)號確定。 φ φ２ １－Δφ 2?Δφ??ΔφΔφ景德鎮(zhèn)高專物理系 4. 常數(shù) A和 φ的確定 ? 如上所述，諧振動方程中的角頻率是由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定的。 ? 引入相位差的概念，不僅僅是為了描述兩個同頻率簡諧振動之間的步調(diào)上的差異，后面將看到，當(dāng)一個物體同時參與兩個或兩個以上同頻率的簡諧振動時，合振動的強弱將取決于這幾個振動之間的相位差。 ? 當(dāng) 為其它值時 , 如果 0，我們稱第二個簡諧振動超前第一個簡諧振動 ，或者說第一個簡諧振動落后于第二個簡諧振動 。當(dāng) 等于 或者 的奇數(shù)倍時，則一個物體到達(dá)正的最大位移時，另一個物體到達(dá)負(fù)的最大位移處，它們同時通過平衡位置但向相反運動，即兩個振動的步調(diào)完全相反。設(shè)有兩個同頻率的簡諧振動，它們的振動表式為 ? 它們的相位差為 1 1 1c o s +x = A ω t φ（ ）1 1 1c o s +x = A ω t φ（ ）2Δ φ ω t φ ω t φ φ φ?? １ ２ １（ ） － （ ＋ ） ＝ －景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 即它們在任意時刻的相