【正文】 o sd x d xm k x γ F ω tdtdt ? ? ? ?20k ωm? 2γ βm ?2 0202 2 c o sFd x d xβ ω x ω td t mdt ? ? ?? ?2200c o s c o sβ tx A e ω β t φ A ω t φ? ?? ? ? ? ?（ ）景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 即受迫振動(dòng)是由阻尼振動(dòng) 和諧振動(dòng) 合成的。 ? 實(shí)際上，在驅(qū)動(dòng)力開始作用時(shí)受迫振動(dòng)的情況是相當(dāng)復(fù)雜的，經(jīng)過不太長的時(shí)間，阻尼振動(dòng)就衰減到可以忽略不計(jì)，即式 917右方第一項(xiàng)趨于零，受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。這時(shí)，振動(dòng)的周期即是驅(qū)動(dòng)力的周期，振動(dòng)的振幅保持穩(wěn)定不變。于是受迫振動(dòng)為諧振動(dòng)。其振動(dòng)表式為 ? ?2200c o sβ tx A e ω β t φ? ?? ? ?cosxA ωt φ??（ ）c o s +x = A ω t φ（ ）景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 應(yīng)該指出，穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)的表式雖然和無阻尼自由振動(dòng)的表式相同，都是簡諧振動(dòng)，但其實(shí)質(zhì)已有所不同。首先，受迫振動(dòng)的角頻率不是振子的固有角頻率，而是驅(qū)動(dòng)力的角頻率；其次，受迫振動(dòng)的振幅和初相位不是決定于振子的初始狀態(tài)，而是依賴于振子的性質(zhì)、阻尼的大小和驅(qū)動(dòng)力的特征。據(jù)理論計(jì)算可得 ? （ 918） ? （ 919） 02 2 2 2 20 4FA m ω ω β ω? ??（ ）2202 β ωtg φ ω ω? ?景德鎮(zhèn)高專物理系 共振 resonance ? 由式（ 918）可知，穩(wěn)定狀態(tài)下受迫振動(dòng)的一個(gè)重要特點(diǎn)是：振幅 A的大小與驅(qū)動(dòng)力的角頻率 ω有很大的關(guān)系。圖 917是對應(yīng)于不同 β 值的 Aω曲線。圖中 ω0是振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率 ω與振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率 ω0相差較大時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅 A比較小，而當(dāng) ω與ω0相接近時(shí)，振幅 A逐漸增大，在 ω為某一定值 時(shí)，振幅A達(dá)到最大。我們把驅(qū)動(dòng)力的角頻率為某一定值時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到極大的現(xiàn)象叫做共振。共振時(shí)的角頻率叫做共振角頻率，以 表示。由式（ 918）求導(dǎo)數(shù)，并令 ，即可得到共振角頻率 ? （ 920） 0dAdω?rω220 2rω ω β??景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 因此。系統(tǒng)的共振頻率是由固有頻率 ω0和阻尼系數(shù) β 決定的，將式（ 920）代入式（ 918）可得共振時(shí)的振幅 ? （ 921） ? 由上式可知，阻尼系數(shù)越小，共振角頻率越接近系統(tǒng)的固有角頻率 ω0，同時(shí)共振的振幅也越大。若阻尼系數(shù)趨于零，則 趨近于 ω0，振幅將趨于無窮大。 02202rFA m β ω β? ?rωrω景德鎮(zhèn)高專物理系 本章小結(jié)： ? 1. 振動(dòng)中最簡單、最基本的振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。描寫振動(dòng)物體位置的物理量 x滿足微分方程 的振動(dòng)為簡諧振動(dòng)。 ? 2. 簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ? ? 其中常數(shù) A和 φ分別為 2 22 0dx ω xdt ??c o s +x = A ω t φ（ ）s i ndxv = = ω A ω t φdt ??（ ）2 22dxa ω A c o s ω t φdt? ? ?－ （ ）2020 200vAxωvφ a r c t gω x＝ ＋－＝景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 3. 簡諧振動(dòng)的周期 ? 4. 簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 一個(gè)簡諧振動(dòng)可以借助于一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量來表示。它們之間的對應(yīng)關(guān)系是：旋轉(zhuǎn)矢量的長度 A為投影點(diǎn)簡諧振動(dòng)的振幅；旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為簡諧振動(dòng)的角頻率；而旋轉(zhuǎn)矢量在 t時(shí)刻與 OX軸的夾角（ ）便是簡諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程中的相位； φ角是起始時(shí)刻旋轉(zhuǎn)矢量與 OX軸的夾角，就是初相位。利用旋轉(zhuǎn)矢量圖，可以很容易地表示兩個(gè)簡諧振動(dòng)的相位差。 2π mT k?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 5. 簡諧振動(dòng)的能量 物體作簡諧振動(dòng)時(shí)，其動(dòng)能和勢能都是隨時(shí)間 t作周期性變化。位移最大時(shí)，勢能達(dá)最大，動(dòng)能為零；物體通過平衡位置時(shí)，勢能為零，動(dòng)能達(dá)最大值。由于在運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧振子不受外力和非保守內(nèi)力的作用，故其總的機(jī)械能守恒 212E kA?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 6. 簡諧振動(dòng)的合成 ? （ 1） 同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成 ? 合振動(dòng)仍是簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)方向和頻率都與原來的兩個(gè)振動(dòng)相同。 ? A. 當(dāng)兩振動(dòng)同相，即相位差（ φ2 － φ1） = 2kπ 時(shí)，（ k = 0， ），A = A1 + A2 ? 合振動(dòng)的振幅等于原來兩個(gè)振動(dòng)的振幅之和。這是合振動(dòng)可能達(dá)到的最大值。 ? B. 當(dāng)兩振動(dòng)反相，即相位差（ φ2 － φ1） =（ 2k + 1） π ，（ k = 0， ）， ? A = 合振動(dòng)的振幅等于原來兩個(gè)振動(dòng)的振幅之差的絕對值。這是合振動(dòng)可能達(dá)到的最小值。 ? C. 在一般情形下，相位差（ φ2－ φ1）是其他任意值時(shí)，合振動(dòng)的振幅在 與 ? A1 + A2之間。 12??， ，12??， ，12AA?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? （ 2） 兩個(gè)互相垂直的同頻率的簡諧振動(dòng)的合成 ? 合振動(dòng)的軌跡是一橢圓，橢圓的具體形狀，由相位差 φ2－ φ1來決定。 ? *7. 阻尼振動(dòng) 在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。 ? *8. 受迫振動(dòng) 系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動(dòng)，叫受迫振動(dòng)。 ? *9. 共振 穩(wěn)定狀態(tài)下受迫振動(dòng)的一個(gè)重要特點(diǎn)是：振幅 A的大小與驅(qū)動(dòng)力的角頻率 ω有很大的關(guān)系，驅(qū)動(dòng)力的角頻率為某一定值時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到極大的現(xiàn)象叫做共振。 景德鎮(zhèn)高專物理系 習(xí) 題 ? 91 如本題圖所示，在電場強(qiáng)度為 E的勻強(qiáng)電場中，放置一電偶極矩 p =ql 的電偶極子， +q、－ q相距 l，且 l不變。若一外界擾動(dòng)使這對電荷偏過一微小角度，擾動(dòng)消失后，這對電荷會(huì)以垂直于電場并通過 l的中點(diǎn) o的直線為轉(zhuǎn)軸來回?cái)[動(dòng)。試證明這種擺動(dòng)是近似的簡諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。設(shè)電荷的質(zhì)量為 m，重力忽略不計(jì)。 ? 92 設(shè)地球是一個(gè)半徑為 R的均勻球體，并沿直徑鑿?fù)ㄒ粭l隧道。若有一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)在此隧道內(nèi)可作無摩擦運(yùn)動(dòng)。 景德鎮(zhèn)高專物理系 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 92 設(shè)地球是一個(gè)半徑為 R的均勻球體，并沿直徑鑿?fù)ㄒ粭l隧道。若有一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)在此隧道內(nèi)可作無摩擦運(yùn)動(dòng)。 ? （ 1）證明此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng)；（ 2）計(jì)算其周期。地球密度 ρ取 93 一物體沿x軸作諧振動(dòng)，振幅為 m，周期為 2 s，當(dāng) t = 0時(shí)位移為 m，且向 x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求 ? （ 1） 初相位；（ 2） t = s時(shí)，物體的位移、速度和加速度；（ 3）從 x = － m、且向 x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)這一狀態(tài)回到平衡位置所需的時(shí)間 335 .5 1 0 k g m ???景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 94 一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅 A = 102m，周期 T = 。當(dāng) t = 0時(shí)，求以下各種情況的振動(dòng)方程 ? （ 1）物體在正方向的端點(diǎn)；（ 2）物體在負(fù)方向的端點(diǎn)；（ 3）物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（ 4）物體在平衡位置，向正方向運(yùn)動(dòng)；（ 5）物體在 x = 102m處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（ 6）物體在 x =－ 102m處，向正方向運(yùn)動(dòng) ? 95 原長為 ，上斷固定，下斷掛一質(zhì)量為。當(dāng)砝碼靜止時(shí)，彈簧的長度為 。若將砝碼向上推，使彈簧縮回到原長，然后放手，則砝碼作上下振動(dòng)。 ? （ 1）證明砝碼的上下振動(dòng)是簡諧振動(dòng)；（ 2）求此諧振動(dòng)的振幅、角頻率和頻率；（ 3）若從放手時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，求此諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程（正向向下） 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 96 質(zhì)量 m = kg的質(zhì)點(diǎn)沿 x軸作諧振動(dòng)，振幅 A = m，周期 T = 4 s， t = 0 時(shí)質(zhì)點(diǎn)在 x0 = m處，且向 x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求： ? （ 1） t = s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置和所受的合外力；（ 2）由 t = 0運(yùn)動(dòng)到 x = － m處所需的最短時(shí)間 ? 97 當(dāng)重力加速度 g改變 dg時(shí)，單擺的周期 T的變化dT是多少？找出 之間的關(guān)系式。 ? 一只擺鐘（單擺），在 g = s2處走時(shí)準(zhǔn)確，移到另一地點(diǎn)，每天快 10 s，問該地點(diǎn)的重力加速度為多少？ dgdTTg與景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 98 有一個(gè)彈簧振子，振幅 A = 2 102 m，周期 T = 1 s，初相 。 ? （ 1）試寫出它的振動(dòng)方程；（ 2）利用旋轉(zhuǎn)矢量圖，作出xt圖， vt圖和 at圖 ? 99 兩質(zhì)點(diǎn)沿同一直線作同振幅、同頻率的諧振動(dòng)。在振動(dòng)過程中，每當(dāng)它們經(jīng)過振幅一半的地方時(shí)相遇，而運(yùn)動(dòng)方向相反。求它們的相位差，并作旋轉(zhuǎn)矢量表示之。 ? 910 質(zhì)量為 kg的物體，以振幅 102 m作諧振動(dòng)，其最大加速度為 ms2，求： ? （ 1）振動(dòng)的周期；（ 2）通過平衡位置時(shí)的動(dòng)能；（ 3）總能量；（ 4）物體在何處其動(dòng)能與勢能相等？ 34πφ?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 911 一個(gè) kg的質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 x = 6 102sin（ 5t － π /2） m。求： ? （ 1）振動(dòng)的振幅和周期；（ 2）起始位移和起始位置時(shí)所受的力；（ 3） t =π s時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度；（ 4）動(dòng)能的最大值 ? 912 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩同方向、同頻率的諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)方程分別為 ? x1 = 6 cos（ 2t ＋ π /6） cm x2 = 8 cos（ 2 t － π /3） cm ? 試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出合振動(dòng)方程 ? 913 有兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為 m，合振動(dòng)的相位與第一個(gè)振動(dòng)的相位之差為 π /6，若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為 m，求： ? （ 1）第二個(gè)振動(dòng)的振幅；（ 2）第一、第二兩振動(dòng)的相位差 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 914 試用最簡單的方法求出下列兩組簡諧振動(dòng)合成后所得合振動(dòng)的振幅 ? 第一組： 第二組： ? 915 示波管的電子束受到兩個(gè)互相垂直的電場的作用。若電子在兩個(gè)方向上的位移分別為 x = Acosωt和 y = Acos（ ωt +φ），求在 φ= 0， φ=30176。 ， φ=90176。 各情況下，電子在熒光屏上的軌跡方程 1 0. 05 c os 3 8πx t m??（ ） （ ）2 c os 3 8πx t m??（ ） （ ）1 0. 05 c os 3 3πx t m??（ ） （ ）2 c os 3 3πx t m??（ ） （