8一階邏輯-概念公式4-14-(編輯修改稿)
2025-08-31 09:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 有的烏龜跑得快． (3)并不是所有的兔子都比烏龜跑得快． (4)不存在跑得同樣快的兩只兔子． 這 4個命題分別符號化為 ?x?y( F(X)∧G(y) → H(x,y) ) ?X(F(X)∧ ?y(G(y)→H(x ， y))) ┑ ?x?y(F(x)∧G(y)→H(x ， y)) ┑ ?x?y(F(x)∧F(y)∧L(x ， y)) ? 任何兩個兔子跑的不同樣快 返回 167。 一階邏輯公式及解釋 一、一階語言 F定義（字母表） (1)個體常項： a,b,c,d， … ， a1,a2， … ai i≥1 ． (2)個體變項： x， y， z， … ， xi， yi， zi， … ， i≥1 (3)函數(shù)符號： f， g， h， … ， fi， gi， hi， … ， i≥1 ． (4)謂詞符號： F， G， H， … ， Fi， Gi， Hi， … ， i≥1 ． (5)量詞符號： ?， ?． (6)聯(lián)結(jié)詞符號： ┑ ， ∧ ， ∨ ， → ， ? 1. F 下的合式公式定義如下： (1)原子公式是合式公式 (2)若 A是合式公式，則 (┑A(chǔ)) 也是合式公式 (3)若 A， B是合式公式，則 (A∧B) ， (A ∨B) ， (A→B) ， (A ? B)也是合式公式． (4)若 A是合式公式，則 ?xA， ?xA也是合式公式． (5)只有有限次地應(yīng)用 (1)→(4) 構(gòu)成的符號串才是合式公式． 合式公式也稱為謂詞公式，簡稱公式 量詞的轄域 :量詞所界定的 子公式 自由變項 和 約束變項 ： 在公式 ?xA和 ?xA中，稱 x為指導(dǎo)變元， A為相應(yīng)量詞的轄域 ． 在 ?x和 ?X的 轄域中 ， x的所有出現(xiàn)都稱為 約束出現(xiàn) ， A中不是約束出現(xiàn)的其他變項均稱為是 自由出現(xiàn)的 ． 例 考察下面謂詞公式 (1)(?x)P(x， y) P(x， y)中的 y為自由變項 ， x為約束 的 (2)(?x)(P(x)→( ?y)R(x， y)) x,y均為約束變元 (3)(?x)(P(x)→R( y))∨( ?y)(F(x)→Q(y)) P(x)中的 x為約束的， R(y)中的 y為自由變元 F(x)→Q(y) 中的 x為自由的， y為約束的 公式中的 x與 y均為雙重身份（ 即自由又約束 ） (4)(?x)P(x)∧Q( x) (5) ?x ?y( R(x,y)∨L(y, z) )∧ ?x H(x,y) 二 、公式的 解釋 （相當于命題公式的 賦值 ） 按合式公式的形成規(guī)則形成的符號串是 F中的公式，這種公式?jīng)]有確定意義．一旦 將其中的變項 (項的變項，謂詞變項等 )用指定的常項代替 后，所得公式就具備一定意義，有時就 變成命題了 一個 解釋 不外乎 指定個體域、個體域中一些特定的元素、特定的函數(shù)和謂詞等部分． 公式的解釋 1）定義： F的解釋 I的內(nèi)容一般由下面 4部分組成： (a)指定非空個體域 DI （ 個體域的取值范圍 ） (b)指定 DI中一些特定元素 (常量 )的集合 {a1,a2， … ai}． (c)給定 DI上特定函數(shù)集合 {fi | i ≥ 1} ． 具體的函數(shù) (d)給定 DI上特定謂詞的集合 { Hi | i≥1} ． 具體的謂詞 在解釋 I下的公式 A中的個體變項均取值于 DI． 被解釋 I下的公式不一定全部包含解釋 中的四部分 閉式定義 設(shè) A是公式，若 A中 不含自由出現(xiàn)的個體變項則 稱 A為 封閉 的公式，簡稱 閉式 閉式在給定的解釋中都變成了命題 (具有真值） 結(jié)論： 定理 4． 1 封閉的公式在任何解釋下都變成命題． 如：謂詞公式 ) ?x)(F(x)→ G(x)) 是閉式 F(x):x是人 G (x):x是黃種人 上式為假 F(x):x是人 G (x):x是要死的 上式為真
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