mit牛人解說數(shù)學(xué)體系(編輯修改稿)
2025-08-31 09:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 討論。在拓?fù)鋵W(xué)里面，有4個(gè)C構(gòu)成了它的核心：1. Closed set（閉集合）。在現(xiàn)代的拓?fù)鋵W(xué)的公理化體系中，開集和閉集是最基本的概念。一切從此引申。這兩個(gè)概念是開區(qū)間和閉區(qū)間的推廣，它們的根本地位，并不是 一開始就被認(rèn)識到的。經(jīng)過相當(dāng)長的時(shí)間，人們才認(rèn)識到：開集的概念是連續(xù)性的基礎(chǔ)，而閉集對極限運(yùn)算封閉——而極限正是分析的根基。2. Continuous function （連續(xù)函數(shù)）。連續(xù)函數(shù)在微積分里面有個(gè)用epsilondelta語言給出的定義，在拓?fù)鋵W(xué)中它的定義是“開集的原像是開集的函數(shù)”。第二個(gè)定義和第 一個(gè)是等價(jià)的，只是用更抽象的語言進(jìn)行了改寫。我個(gè)人認(rèn)為，它的第三個(gè)（等價(jià)）定義才從根本上揭示連續(xù)函數(shù)的本質(zhì)——“連續(xù)函數(shù)是保持極限運(yùn)算的函數(shù)” ——比如y是數(shù)列x1, x2, x3, … 的極限， 那么如果 f 是連續(xù)函數(shù)，那么 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的極限。連續(xù)函數(shù)的重要性，可以從別的分支學(xué)科中進(jìn)行類比。比如群論中，基礎(chǔ)的運(yùn)算是“乘法”，對于群，最重要的映射叫“同態(tài)映射”——保持“乘法”的 映射。在分析中，基礎(chǔ)運(yùn)算是“極限”，因此連續(xù)函數(shù)在分析中的地位，和同態(tài)映射在代數(shù)中的地位是相當(dāng)?shù)摹?. Connected set （連通集合）。比它略為窄一點(diǎn)的概念叫(Path connected)，就是集合中任意兩點(diǎn)都存在連續(xù)路徑相連——可能是一般人理解的概念。一般意義下的連通概念稍微抽象一些。在我看來，連通性有兩個(gè)重 要的用場：一個(gè)是用于證明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem)，還有就是代數(shù)拓?fù)洌負(fù)淙赫摵屠钊赫撝杏懻摳救?Fundamental Group)的階。4. Compact set（緊集）。Compactness似乎在初等微積分里面沒有專門出現(xiàn)，不過有幾條實(shí)數(shù)上的定理和它其實(shí)是有關(guān)系的。比如，“有界數(shù)列必然存在收斂子 列”——用pactness的語言來說就是——“實(shí)數(shù)空間中有界閉集是緊的”。它在拓?fù)鋵W(xué)中的一般定義是一個(gè)聽上去比較抽象的東西——“緊集的任意 開覆蓋存在有限子覆蓋”。這個(gè)定義在討論拓?fù)鋵W(xué)的定理時(shí)很方便，它在很多時(shí)候能幫助實(shí)現(xiàn)從無限到有限的轉(zhuǎn)換。對于分析來說，用得更多的是它的另一種形式 ——“緊集中的數(shù)列必存在收斂子列”——它體現(xiàn)了分析中最重要的“極限”。Compactness在現(xiàn)代分析中運(yùn)用極廣，無法盡述。微積分中的兩個(gè)重要定 理：極值定理(Extreme Value Theory)，和一致收斂定理(Uniform Convergence Theorem)就可以借助它推廣到一般的形式。從某種意義上說，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)可以看成是關(guān)于“極限”的一般理論，它抽象于實(shí)數(shù)理論，它的概念成為幾乎所有現(xiàn)代分析學(xué)科的通用語言，也是整個(gè)現(xiàn)代分析的根基所在。微分幾何：流形上的分析——在拓?fù)淇臻g上引入微分結(jié)構(gòu)拓 撲學(xué)把極限的概念推廣到一般的拓?fù)淇臻g，但這不是故事的結(jié)束，而僅僅是開 始。在微積分里面，極限之后我們有微分，求導(dǎo)，積分。這些東西也可以推廣到拓?fù)淇臻g，在拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)上建立起來——這就是微分幾何。從教學(xué)上說，微分幾何 的教材，有兩種不同的類型，一種是建立在古典微機(jī)分的基礎(chǔ)上的“古典微分幾何”，主要是關(guān)于二維和三維空間中的一些幾何量的計(jì)算，比如曲率。還有一種是建 立在現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)上，這里姑且稱為“現(xiàn)代微分幾何”——它的核心概念就是“流形”(manifold)——就是在拓?fù)淇臻g的基礎(chǔ)上加了一套可以進(jìn)行微 分運(yùn)算的結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)代微分幾何是一門非常豐富的學(xué)科。比如一般流形上的微分的定義就比傳統(tǒng)的微分豐富，我自己就見過三種從不同角度給出的等價(jià)定義——這一方 面讓事情變得復(fù)雜一些，但是另外一個(gè)方面它給了同一個(gè)概念的不同理解，往往在解決問題時(shí)會(huì)引出不同的思路。除了推廣微積分的概念以外，還引入了很多新概 念：tangent space, cotangent space, push forward, pull back, fibre bundle, flow, immersion, submersion 等等。近 些年，流形在machine learning似乎相當(dāng)時(shí)髦。但是，坦率地說，要弄懂一些基本的流形算法， 甚至“創(chuàng)造”一些流形算法，并不需要多少微分幾何的基礎(chǔ)。對我的研究來說，微分幾何最重要的應(yīng)用就是建立在它之上的另外一個(gè)分支：李群和李代數(shù)——這是數(shù) 學(xué)中兩大家族分析和代數(shù)的一個(gè)漂亮的聯(lián)姻。分析和代數(shù)的另外一處重要的結(jié)合則是泛函分析，以及在其基礎(chǔ)上的調(diào)和分析。代數(shù)：一個(gè)抽象的世界關(guān)于抽象代數(shù)回過頭來，再說說另一個(gè)大家族——代數(shù)。如果說古典微積分是分析的入門，那么現(xiàn)代代數(shù)的入門點(diǎn)則是兩個(gè)部分：線性代數(shù)(linear algebra)
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