mit牛人解說數學體系-文庫吧在線文庫
【正文】 函數是黎曼可積的。隨著對實數認識的深入，如何測量“點 集大小”的問題也取得了突破，勒貝格創(chuàng)造性地把關于集合的代數，和Outer content（就是“外測度”的一個雛形）的概念結合起來，建立了測度理論(Measure Theory)，并且進一步建立了以測度為基礎的積分——勒貝格(Lebesgue Integral)。在泛函分析，還有逼近理論中，經 常需要討論“函數的極限”，或者“函數的級數”，如果用黎曼積分的概念，這種討論幾乎不可想像。對于實數軸的推廣，促成了點集拓撲學(Point set Topology)的建立。連續(xù)函數在微積分里面有個用epsilondelta語言給出的定義，在拓撲學中它的定義是“開集的原像是開集的函數”。一般意義下的連通概念稍微抽象一些。Compactness在現(xiàn)代分析中運用極廣，無法盡述?，F(xiàn)代微分幾何是一門非常豐富的學科。代數：一個抽象的世界關于抽象代數回過頭來，再說說另一個大家族——代數。如果，一個環(huán)的加法和乘法具有了所有的良好性質，那么就成為一個域(Field)。我在學習中的focus主要是后者。流形需要在每個局部建立和線性空間的映射，通過把許多局部線 性空間連接起來形成非線性；而kernerlization則是通過置換內積結構把原線性空間“非線性”地映射到另外一個線性空間，再進行線性空間中所能 進行的操作。除了加法和數乘，這里進一步加入了一些運算，比如加入范數去 表達“向量的長度”或者“元素的距離”，這樣的空間叫做“賦范線性空間”(normed space)，再進一步的，可以加入內積運算，這樣的空間叫“內積空間”(Inner product space)。5. 在 有限維空間中，線性變換（矩陣）的譜相當于全部的特征值，在無限維空間 中，算子的譜的結構比這個復雜得多，除了特征值組成的點譜(point spectrum)，還有approximate point spectrum和residual spectrum。比如矩陣——它除了加法和數乘，還能做乘法——這就構成了一 個巴拿赫代數。除了傅立葉和小波，調和分析還研究一些很有用的函數空間，比如Hardy space，Sobolev space，這些空間有很多很好的性質，在工程中和物理學中都有很重要的應用?，F(xiàn)代概率論：在現(xiàn)代分析基礎上再生最 后，再簡單說說很多Learning的研究者特別關心的數學分支：概率論。終于寫完了——也謝謝你把這么長的文章看完，希望其中的一些內容對你是有幫助的。角度雖然不一樣，不過這兩種方式殊途同 歸，形成的基礎是等價的。我一直認為這是一門非常漂亮的數學：在一個體系中，拓撲，微分和代數走到了一起。最 能把泛函分析和實際問題在一起的另一個重要方向是調和分析 (Harmonic Analysis)。這個概念是現(xiàn)代逼近理論的基礎(approximation theory)。2. 在有限維空間中空間和它的對偶空間的是完全同構的，而在無限維空間中，它們存在微妙的差別。對函數進行的最重 要的運算都在無限維空間進行，比如傅立葉變換和小波分析。在 learning中有這樣的一種傾向——鄙視線性算法，標榜非線性。基于抽象運算規(guī)則得到的所有定理完全可以運用于上面說的貓狗乘法。一個集合再加上一套運算規(guī)則，就構成一個代數結構。但是，坦率地說，要弄懂一些基本的流形算法， 甚至“創(chuàng)造”一些流形算法，并不需要多少微分幾何的基礎。在微積分里面，極限之后我們有微分，求導，積分。比如，“有界數列必然存在收斂子 列”——用pactness的語言來說就是——“實數空間中有界閉集是緊的”。比如群論中，基礎的運算是“乘法”，對于群，最重要的映射叫“同態(tài)映射”——保持“乘法”的 映射。一切從此引申。3. 在下面，我們還會看到，測度理論是現(xiàn)代概率論的基礎。而且， 它要解決的某些“難題”——比如處處不連續(xù)的函數，或者處處連續(xù)而處處不可微的函數——在工程師的眼中，并不現(xiàn)實。只有有限處不連續(xù)的函數是可積的，可是很多有數學家們構造出很多在無限處不連續(xù)的 可積函數。柯 西(Cauchy)為分析的發(fā)展提供了一種嚴密的語言，但是他并沒有解決微 積分的全部問題。不過，分析的范疇遠不只是這些，我們在大學一年級學習的微積分只能算是對古典分析的入門?！薄坪跏秋@然得不能再顯然的命題。在這里，我只是說說，在我的眼中，數學如何一步步從初級向高級發(fā)展，更高級別的數學對于具體應用究竟有何好處。微觀意義下的單個原子運動，和宏觀意義下的整體分布的變換存在著深刻的 聯(lián)系——這需要我們去發(fā)掘。說起來，我在剛來這個學校的時候，并沒有預料到我將會有一個深入數學的旅 程。MIT牛人解說數學體系我的導師最初希望我去做的題目，是對appearance和motion建立一個unifie
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