【正文】 d的model。在深入探索這個題目的過程中，遇到了很多很多的問題，如何描述一個一般的運動過程，如何建立一個穩(wěn)定并且廣泛適用的原子表達，如何刻畫微觀運動和宏觀分布變換的聯(lián)系，還有很多。不過，這個貌似平常 的公理卻能演繹出一些比較奇怪的結(jié)論，比如巴拿赫塔斯基分球定理——“一個球，能分成五個部分，對它們進行一系列剛性變換（平移旋轉(zhuǎn)）后，能組合成兩個一樣大小的球”。分析研究 的對象很多，包括導(dǎo)數(shù)(derivatives)，積分(integral)，微分方程(differential equation)，還有級數(shù)(infinite series)——這些基本的概念，在初等的微積分里面都有介紹。在19世紀(jì)的時候，分析的世界仍然有著一些揮之不去的烏云。顯然，在衡量點集大小的時候，有限和無限并不是一種合適的標(biāo)準(zhǔn)。但是，我認(rèn)為，它并不是一種純數(shù)學(xué)概念 游戲，它的現(xiàn)實意義在于為許多現(xiàn)代的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支提供堅實的基礎(chǔ)。拓?fù)鋵W(xué)：分析從實數(shù)軸推廣到一般空間——現(xiàn)代分析的抽象基礎(chǔ)隨 著實數(shù)理論的建立，大家開始把極限和連續(xù)推廣到更一般的地方的分析。這兩個概念是開區(qū)間和閉區(qū)間的推廣，它們的根本地位，并不是 一開始就被認(rèn)識到的。在分析中，基礎(chǔ)運算是“極限”，因此連續(xù)函數(shù)在分析中的地位，和同態(tài)映射在代數(shù)中的地位是相當(dāng)?shù)摹Ｋ谕負(fù)鋵W(xué)中的一般定義是一個聽上去比較抽象的東西——“緊集的任意 開覆蓋存在有限子覆蓋”。這些東西也可以推廣到拓?fù)淇臻g，在拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)上建立起來——這就是微分幾何。對我的研究來說，微分幾何最重要的應(yīng)用就是建立在它之上的另外一個分支：李群和李代數(shù)——這是數(shù) 學(xué)中兩大家族分析和代數(shù)的一個漂亮的聯(lián)姻。在主 要的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，最簡單的是群(Group)——它只有一種符合結(jié)合率的可逆運算，通常叫“乘法”。當(dāng)然，在實際運用中，我們還是希望用它 干點有意義的事情。也許在 很多場合下面，我們需要非線性來描述復(fù)雜的現(xiàn)實世界，但是無論什么時候，線性都是具有根本地位的。這表明了，為了研究函數(shù)（或者說連續(xù)信號），我們需要打破有限維空間的束縛，走入無限維的函數(shù)空 間——這里面的第一步，就是泛函分析。3. 在有限維空間中，所有線性變換（矩陣）都是有界變換，而在無限維，很多算子是無界的(unbounded)，最重要的一個例子是給函數(shù)求導(dǎo)。函數(shù)空間的逼近理論在Learning中應(yīng)該有著非常重要的作用，但是現(xiàn)在看到的運用現(xiàn)代逼近理論的文章并不多。我在這里列舉它的兩個個子領(lǐng)域，傅立葉分析和小波分析，我想這已經(jīng)能說明它的實際價值。在一定條件下， 通過李群和李代數(shù)的聯(lián)系，它讓幾何變換的結(jié)合變成了線性運算，讓子群化為線性子空間，這樣就為Learning中許多重要的模型和算法的引入到對幾何運動 的建模創(chuàng)造了必要的條件。在現(xiàn)代概率論的 基礎(chǔ)上，許多傳統(tǒng)的分支得到了極大豐富，最有代表性的包括鞅論 (Martingale)——由研究賭博引發(fā)的理論，現(xiàn)在主要用于金融（這里可以看出賭博和金融的理論聯(lián)系，:P），布朗運動(Brownian Motion)——連續(xù)隨機過程的基礎(chǔ)，以及在此基礎(chǔ)上建立的隨機分析(Stochastic Calculus)，包括隨機積分（對隨機過程的路徑進行積分，其中比較有代表性的叫伊藤積分(Ito Integral)），和隨機微分方程。它研究的是函數(shù)空間的問題，不可避免的必須以泛函分析為基礎(chǔ)。第一個是巴拿赫代數(shù) (Banach Algebra)，它就是在巴拿赫空間（完備的內(nèi)積空間）的基礎(chǔ)上引入乘法（這不同于數(shù)乘）。而在所有的無限維空間中，單位球都不是緊的——也就是說，可以在單位球內(nèi)撒入無限個點，而不出現(xiàn)一個極限點。在 泛函分析中，空間中的元素還是叫向量，但是線性變換通常會叫作“算子”(operator)。我們常 用的非線性化的方法包括流形和kernelization，這兩者都需要在某個階段回歸線性。抽 象代數(shù)有在一些基礎(chǔ)定理的基礎(chǔ)上，進一步的研究往往分為兩個流派：研究有限 的離散代數(shù)結(jié)構(gòu)（比如有限群和有限域），這部分內(nèi)容通常用于數(shù)論，編碼，和整數(shù)方程這些地方；另外一個流派是研究連續(xù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，通常和拓?fù)渑c分析聯(lián)系在 一起（比如拓?fù)淙海钊海?。如果有兩種運算，一種叫加法，滿足交換率和結(jié)合率，一種叫乘法，滿足結(jié)合率，它們之間滿足分配率，這種豐富一點的結(jié)構(gòu)叫做環(huán)(Ring)， 如果環(huán)上的乘法滿足交換率，就叫可交換環(huán)(Commutative Ring)。還有一種是建 立在現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)上，這里姑且稱為“現(xiàn)代微分幾何”——它的核心概念就是“流形”(manifold)——就是在拓?fù)淇臻g的基礎(chǔ)上加了一套可以進行微 分運算的結(jié)構(gòu)。對于分析來說，用得更多的是它的另一種形式 ——“緊集中的數(shù)列必存在收斂子列”——它體現(xiàn)了分析中最重要的“極限”。比它略為窄一點的概念叫(Pa