mit牛人解說數(shù)學(xué)體系(存儲版)
【正文】 Banach space)，完備的內(nèi)積空間叫希爾伯特空間(Hilbert space)。6. 在 有限維空間中，任何一點對任何一個子空間總存在投影，而在無限維空間中， 這就不一定了，具有這種良好特性的子空間有個專門的名稱切比雪夫空間(Chebyshev space)。巴拿赫代數(shù)讓你站在更高的高度看待泛函分析中 的結(jié)論，但是，我對它在實際問題中能比泛函分析能多帶來什么東西還有待思考。它們給連續(xù)群上的元素賦予了代數(shù)結(jié)構(gòu)。值得注意的是，很多的現(xiàn)代觀點，開始以泛函分析的思路看待概率論的 基礎(chǔ)概念，隨機變量構(gòu)成了一個向量空間，而帶符號概率測度則構(gòu)成了它的對偶空間，其中一方施加于對方就形成均值。 自從Kolmogorov在上世紀(jì)30年代把測度引入概率論以來，測度理論就成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。對于vision來說，調(diào)和分析在信號的表達(dá)，圖像的構(gòu)造，都是非常有用的 工具。除此以外，值域完備的有界算子，平方可積函數(shù)，都能構(gòu)成巴拿赫代數(shù)。雖然復(fù)雜，但是，也更為有趣。大家發(fā)現(xiàn)，當(dāng)進入無限維的時間時，很多老的觀念不再適用了，一切都需要重新審視。而在分析領(lǐng)域，線性的運算更是無處不在，微分，積分，傅立葉變換，拉普拉斯變換，還有統(tǒng)計中的均值，通通都是線性的。線性代數(shù)：“線性”的基礎(chǔ)地位對 于做Learning, vision, optimization或者statistics的人來說，接觸最多的莫過于線性代數(shù)——這也是我們在大學(xué)低年級就開始學(xué)習(xí)的?；谟颍覀兛梢越⒁环N新的結(jié)構(gòu)，能進行加法和數(shù)乘，就 構(gòu)成了線性代數(shù)(Linear algebra)。如果說古典微積分是分析的入門，那么現(xiàn)代代數(shù)的入門點則是兩個部分：線性代數(shù)(linear algebra)和基礎(chǔ)的抽象代數(shù)(abstract algebra)——據(jù)說國內(nèi)一些教材稱之為近世代數(shù)。比如一般流形上的微分的定義就比傳統(tǒng)的微分豐富，我自己就見過三種從不同角度給出的等價定義——這一方 面讓事情變得復(fù)雜一些，但是另外一個方面它給了同一個概念的不同理解，往往在解決問題時會引出不同的思路。微積分中的兩個重要定 理：極值定理(Extreme Value Theory)，和一致收斂定理(Uniform Convergence Theorem)就可以借助它推廣到一般的形式。在我看來，連通性有兩個重 要的用場：一個是用于證明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem)，還有就是代數(shù)拓?fù)?，拓?fù)淙赫摵屠钊赫撝杏懻摳救?Fundamental Group)的階。第二個定義和第 一個是等價的，只是用更抽象的語言進行了改寫。很多原來只存在于實數(shù)中的概念，被提取出來，進行一般性的討論。我們有時看一些paper中提到Lp函數(shù)空間，就是基于勒 貝格積分。在這個新的積分概念的支持下，可積性問題變得一目了然?？墒?，這樣的結(jié)果并不令人滿意，工程師們需要對分段連續(xù)函數(shù)的 函數(shù)積分。那個 長時間一直解釋不清楚的“無窮小量”的幽靈，困擾了數(shù)學(xué)界一百多年的時間——這就是“第二次數(shù)學(xué)危機”。至于其它的，比如幾何和概率論，在古典數(shù)學(xué)時代，它們是和代數(shù)并列的，但是它們的現(xiàn)代版本則基本是建立在分析或者代數(shù)的基礎(chǔ)上，因此從現(xiàn)代意義說，它們和分析與代數(shù)并不是平行的關(guān)系。我相信，理工科大學(xué)生對于 這些都不會陌生。 在數(shù)學(xué)中，有很多思想和工具，是非常適合解決這些問題的，只是沒有被很多的應(yīng)用科學(xué)的研究者重視。如果統(tǒng)計學(xué)習(xí)包治百病，那么很多 “下游”的學(xué)科也就沒有存在的必要了。在過去的一年中，我一直在數(shù)學(xué)的海洋中游蕩，research進展不多，對于數(shù)學(xué)世界的閱歷算是有了一些長進。我 不否認(rèn)現(xiàn)在廣泛流行的Graphical Model是對復(fù)雜現(xiàn)象建模的有力工具，但是，我認(rèn)為它不是panacea，并不能取代對于所研究的問題的深入的鉆研。對于這些簡單概念的理解，是進一步學(xué)些別的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在我們后面要回說到的學(xué)科里面，下面的定理依賴于選擇公理：1. 拓?fù)鋵W(xué)：Baire Category Theorem2. 實分析（測度理論）：Lebesgue 不可測集的存在性3. 泛 函分析四個主要定理：HahnBanach Extension Theorem, BanachSteinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem在集合論的基礎(chǔ)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)有兩大家族：分析(Analysis)和代數(shù)(Algebra)。事實上，在他們的時代，很多微積分的工具開始運用在科學(xué)和工程之中，但是，微積分的基礎(chǔ)并沒有真正建立。但是，什么函數(shù)存 在黎曼積分呢（黎曼可積）？數(shù)學(xué)家們很早就證明了，定義在閉區(qū)間內(nèi)的連續(xù)
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