mit牛人解說(shuō)數(shù)學(xué)體系(存儲(chǔ)版)
【正文】 Banach space)，完備的內(nèi)積空間叫希爾伯特空間(Hilbert space)。6. 在 有限維空間中，任何一點(diǎn)對(duì)任何一個(gè)子空間總存在投影，而在無(wú)限維空間中， 這就不一定了，具有這種良好特性的子空間有個(gè)專門的名稱切比雪夫空間(Chebyshev space)。巴拿赫代數(shù)讓你站在更高的高度看待泛函分析中 的結(jié)論，但是，我對(duì)它在實(shí)際問(wèn)題中能比泛函分析能多帶來(lái)什么東西還有待思考。它們給連續(xù)群上的元素賦予了代數(shù)結(jié)構(gòu)。值得注意的是，很多的現(xiàn)代觀點(diǎn)，開始以泛函分析的思路看待概率論的 基礎(chǔ)概念，隨機(jī)變量構(gòu)成了一個(gè)向量空間，而帶符號(hào)概率測(cè)度則構(gòu)成了它的對(duì)偶空間，其中一方施加于對(duì)方就形成均值。 自從Kolmogorov在上世紀(jì)30年代把測(cè)度引入概率論以來(lái)，測(cè)度理論就成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。對(duì)于vision來(lái)說(shuō)，調(diào)和分析在信號(hào)的表達(dá)，圖像的構(gòu)造，都是非常有用的 工具。除此以外，值域完備的有界算子，平方可積函數(shù)，都能構(gòu)成巴拿赫代數(shù)。雖然復(fù)雜，但是，也更為有趣。大家發(fā)現(xiàn)，當(dāng)進(jìn)入無(wú)限維的時(shí)間時(shí)，很多老的觀念不再適用了，一切都需要重新審視。而在分析領(lǐng)域，線性的運(yùn)算更是無(wú)處不在，微分，積分，傅立葉變換，拉普拉斯變換，還有統(tǒng)計(jì)中的均值，通通都是線性的。線性代數(shù)：“線性”的基礎(chǔ)地位對(duì) 于做Learning, vision, optimization或者statistics的人來(lái)說(shuō)，接觸最多的莫過(guò)于線性代數(shù)——這也是我們?cè)诖髮W(xué)低年級(jí)就開始學(xué)習(xí)的?；谟?，我們可以建立一種新的結(jié)構(gòu)，能進(jìn)行加法和數(shù)乘，就 構(gòu)成了線性代數(shù)(Linear algebra)。如果說(shuō)古典微積分是分析的入門，那么現(xiàn)代代數(shù)的入門點(diǎn)則是兩個(gè)部分：線性代數(shù)(linear algebra)和基礎(chǔ)的抽象代數(shù)(abstract algebra)——據(jù)說(shuō)國(guó)內(nèi)一些教材稱之為近世代數(shù)。比如一般流形上的微分的定義就比傳統(tǒng)的微分豐富，我自己就見過(guò)三種從不同角度給出的等價(jià)定義——這一方 面讓事情變得復(fù)雜一些，但是另外一個(gè)方面它給了同一個(gè)概念的不同理解，往往在解決問(wèn)題時(shí)會(huì)引出不同的思路。微積分中的兩個(gè)重要定 理：極值定理(Extreme Value Theory)，和一致收斂定理(Uniform Convergence Theorem)就可以借助它推廣到一般的形式。在我看來(lái)，連通性有兩個(gè)重 要的用場(chǎng)：一個(gè)是用于證明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem)，還有就是代數(shù)拓?fù)?，拓?fù)淙赫摵屠钊赫撝杏懻摳救?Fundamental Group)的階。第二個(gè)定義和第 一個(gè)是等價(jià)的，只是用更抽象的語(yǔ)言進(jìn)行了改寫。很多原來(lái)只存在于實(shí)數(shù)中的概念，被提取出來(lái)，進(jìn)行一般性的討論。我們有時(shí)看一些paper中提到Lp函數(shù)空間，就是基于勒 貝格積分。在這個(gè)新的積分概念的支持下，可積性問(wèn)題變得一目了然?？墒牵@樣的結(jié)果并不令人滿意，工程師們需要對(duì)分段連續(xù)函數(shù)的 函數(shù)積分。那個(gè) 長(zhǎng)時(shí)間一直解釋不清楚的“無(wú)窮小量”的幽靈，困擾了數(shù)學(xué)界一百多年的時(shí)間——這就是“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。至于其它的，比如幾何和概率論，在古典數(shù)學(xué)時(shí)代，它們是和代數(shù)并列的，但是它們的現(xiàn)代版本則基本是建立在分析或者代數(shù)的基礎(chǔ)上，因此從現(xiàn)代意義說(shuō)，它們和分析與代數(shù)并不是平行的關(guān)系。我相信，理工科大學(xué)生對(duì)于 這些都不會(huì)陌生。 在數(shù)學(xué)中，有很多思想和工具，是非常適合解決這些問(wèn)題的，只是沒(méi)有被很多的應(yīng)用科學(xué)的研究者重視。如果統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)包治百病，那么很多 “下游”的學(xué)科也就沒(méi)有存在的必要了。在過(guò)去的一年中，我一直在數(shù)學(xué)的海洋中游蕩，research進(jìn)展不多，對(duì)于數(shù)學(xué)世界的閱歷算是有了一些長(zhǎng)進(jìn)。我 不否認(rèn)現(xiàn)在廣泛流行的Graphical Model是對(duì)復(fù)雜現(xiàn)象建模的有力工具，但是，我認(rèn)為它不是panacea，并不能取代對(duì)于所研究的問(wèn)題的深入的鉆研。對(duì)于這些簡(jiǎn)單概念的理解，是進(jìn)一步學(xué)些別的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在我們后面要回說(shuō)到的學(xué)科里面，下面的定理依賴于選擇公理：1. 拓?fù)鋵W(xué)：Baire Category Theorem2. 實(shí)分析（測(cè)度理論）：Lebesgue 不可測(cè)集的存在性3. 泛 函分析四個(gè)主要定理：HahnBanach Extension Theorem, BanachSteinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem在集合論的基礎(chǔ)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)有兩大家族：分析(Analysis)和代數(shù)(Algebra)。事實(shí)上，在他們的時(shí)代，很多微積分的工具開始運(yùn)用在科學(xué)和工程之中，但是，微積分的基礎(chǔ)并沒(méi)有真正建立。但是，什么函數(shù)存 在黎曼積分呢（黎曼可積）？數(shù)學(xué)家們很早就證明了，定義在閉區(qū)間內(nèi)的連續(xù)
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