20xx年版博士資格考試大綱(編輯修改稿)
2025-08-31 08:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ， 二維周期系統(tǒng)的調(diào)和解，擬線性系統(tǒng)， 耗散系統(tǒng)， Duffing方程， 環(huán)面上的常微系統(tǒng)， 旋轉(zhuǎn)數(shù)， 極限點(diǎn)集， 各態(tài)歷經(jīng)偏微分方程：1． 數(shù)學(xué)物理方程位勢(shì)方程： 基本解和Green函數(shù)， 極值原理和最大模估計(jì)。熱方程： Fourier變換方法，分離變量法，極值原理和最大模估計(jì)。波動(dòng)方程：特征線法，分離變量法，能量不等式。2． 二階橢圓型方程 廣義函數(shù)理論和Fourier 變換基本理論 Sobolev嵌入定理，理論（解的存在唯一性）。Schauder 估計(jì)的結(jié)論及應(yīng)用。估計(jì)的結(jié)論及應(yīng)用。參考書(shū)目:【1】丁同仁，李承治：《常微分方程》。【2】張芷芬等，《微分方程定性理論》 第7章?！?】姜禮尚等，《數(shù)學(xué)物理方程講義》?！?】陳亞浙，吳蘭成，《二階橢圓型方程與橢圓型方程組》【5】, . Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order (Part 1 Linear equations), Springer 世界圖書(shū)出版公司?！?】Hormander: The analysis of linear partial differential operators （第一卷）， SpringerVerlag, 1983.五： 概率論 （100分）《概率論》博士生資格考試涵蓋了研究生課程《高等概率論》和《隨機(jī)過(guò)程論》，前者以本科生課程《測(cè)度論》為基礎(chǔ)，后者是本科生課程《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》的后續(xù)課，因此隨機(jī)過(guò)程部分也包含難度較低的《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》的內(nèi)容。一、 測(cè)度論σ域， λ－π方法積分的性質(zhì)，Levy單調(diào)收斂定理，F(xiàn)atou引理，Lebesgue控制收斂定理，積分的絕對(duì)連續(xù)性條件期望， RadonNikodym導(dǎo)數(shù)， 條件概率，正則條件概率乘積空間，Kolmogorov延拓定理 Fubini定理隨機(jī)變量四種收斂的定義及其相互關(guān)系二、 概率論概率空間, 隨機(jī)變量的獨(dú)立性歐氏空間的測(cè)度性質(zhì)， 弱收斂弱大數(shù)定律，Chebyshev不等式 強(qiáng)大數(shù)定律， BorelCantelli引理 隨機(jī)變量級(jí)數(shù)的收斂， Kolmogorov三級(jí)數(shù)定理中心極限定理，LindebergFeller定理Fourier變換, 特征函數(shù)，逆轉(zhuǎn)公式， Poisson收斂定理?xiàng)l件獨(dú)立 尾事件，Kolmogorov0－1律，可交換序列三、 隨機(jī)過(guò)程σ域流，停時(shí)，Wald引理鞅、上鞅、下鞅（離散時(shí)間），Doob不等式，一致可積，停時(shí)定理, Doob分解馬氏鏈（離散狀態(tài), 離散時(shí)間或連續(xù)時(shí)間），一些特例（如隨機(jī)游動(dòng)），常返與非常返，平穩(wěn)分布，漸近行為與收斂速度，可逆性與可逆分布寬平穩(wěn)過(guò)程與嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程, Birkhoff遍歷定理，布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其構(gòu)造，強(qiáng)馬氏性，轉(zhuǎn)移概率，熱核OU過(guò)程，生成元與馬氏半群初步 隨機(jī)微分方程初步參考書(shū)目：【1】Rick Durrett, Probability: Theory and Examples, Third Edition, 世界圖書(shū)出版社 2007【2】程士宏：《程度論與概率論基礎(chǔ)》 北京大學(xué)出版社，2004【3】錢敏平龔光魯：《隨機(jī)過(guò)程論》第二版， 北京大學(xué)出版社，1997年【4】Kai Lai Chung, A Course in Probability Theory, 2nd edition, Academic Press 1974六 計(jì)算方法 （100分） （三門中選二）數(shù)值代數(shù) （50分）1． 基礎(chǔ)知
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