20xx年版博士資格考試大綱(已修改)
2025-08-16 08:53 本頁(yè)面
【正文】 2008年版博士資格考試大綱 考試時(shí)間：150分鐘分析學(xué)(100分， 三門中選二門)復(fù)分析 (50分)1. Cauchy積分理論2. Weierstrass級(jí)數(shù)理論3. 解析延拓4. Riemann的幾何理論(a) 正規(guī)族理論(b) Riemann映射定理及邊界對(duì)應(yīng)原理 5 分式線性變換群和特殊區(qū)域的解析自同胚群 6 Schwarz引理 (a) SchwarzPickAhlfors定理 (b) Poincare度量 7 Riemann曲面的基本理論 (a) Riemann曲面的概念 (b) 虧格和RiemannRoch定理 (c) 緊Riemann曲面的分類實(shí)分析 (50分)1． Fourier變換(a) 函數(shù)的Fourier變換(b) Schwartz函數(shù)與緩增分布(c) Plancherel公式，函數(shù)的Fourier變換(d) 收斂與求和，Poisson核、Gauss核2． HardyLittlewood極大函數(shù)(a) 恒等逼近(b) Marcinkiewicz插值定理(c) HardyLittlewood極大函數(shù)3． 奇異積分(a) Hilbert變換(b) Riesz變換(c) 卷積型奇異積分算子(d) 一般（非卷積型）CalderonZygmund算子4． Hardy空間與BMO空間(a) 原子Hardy空間(b) BMO空間5． LittewoodPaley理論與乘子(a) LittewoodPaley理論(b) H246。rmander乘子定理泛函分析 (50分)1. Banach空間和Hilbert空間的基本理論及典型例子2. Banach空間和Hilbert空間上有界線性泛函和線性算子基本理論3. 緊算子(a) RieszFredholm理論(b) 緊算子的基本性質(zhì), 譜理論(c) 對(duì)稱緊算子(d) 有界自伴算子的譜分解 (e) 閉算子的理論（f）自伴擴(kuò)張(g) 無(wú)界自伴算子的擾動(dòng)4. 算子半群(a) HilleYosida定理(b) 單參數(shù)算子酉群的Stone定理參考書目： 【1】 Ahlfors: Complex Analysis. McGrawHill Book Company 【2】 伍鴻熙等: 緊Riemann曲面引論 科學(xué)出版社【3】 J. Duoandikoetxea, Fourier analysis, Amer. Math. Soc.?！?】 程民德，鄧東皋，龍瑞麟編著，實(shí)分析，高等教育出版社.【5】張恭慶, 林源渠等: 泛函分析講義上, 下冊(cè)【6】Yosida: Functional Analysis SpringerVerlag。)二. 代數(shù)學(xué) （100分）群1 群, 子群, 正規(guī)子群, 商群。 同態(tài)與同構(gòu), 同態(tài)定理與同構(gòu)定理.2. 群例: 循環(huán)群, 二面體群, 四元數(shù)群, 置換群, 線性群, $A_n$, $S_n$.3. 自由群,生成元與定義關(guān)系.4. 群在集合上的作用。 Sylow定理和群.5. JordanHolder 定理,直積分解定理.6. 可解群.7. 算子群.8. 特殊射影線性群的單性.9. 空間上的型與典型群.10. 辛群.環(huán)1. 環(huán), 子環(huán), 理想, 商環(huán)。 同態(tài)與同構(gòu), 同態(tài)定理與同構(gòu)定理.2. 環(huán)的直和.3. 素理想和極大理想, 冪零根
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