8-2空間圖形的基本關(guān)系與公理(編輯修改稿)
2025-08-31 08:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 分析 ] 要證明 P ， Q ， R 三點共線，只需證明 P ， Q ， R三點在平面 α 和平面 ABC 的交線上，可先用任意兩點確定交線所對應(yīng)的直線，再證明第三點在該直線上，本題體現(xiàn)了空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想和方法． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 證明 ] 由已知 AB 的延長線交平面 α 于點 P ，根據(jù)公理 3 ，三角形 AB C 所在的平面與平面 α 必相交于一條直線，設(shè)為 l . ∵ P ∈ 直線 AB ， P ∈ 平面 AB C . 又直線 AB ∩ 平面 α ＝ P ， ∴ P ∈ 平面 α . ∴ P 是平面 AB C 與平面 α 的公共點． ∵ 平面 ABC ∩ 平面 α ＝ l， ∴ P ∈ l .同理， Q ∈ l ， R ∈ l . ∴ 點 P ， Q ， R 在同一條直線 l 上． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 點評 ] 易忽視先找出平面 AB C 與平面 α 的交線，從而縮小目標(biāo)范圍． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 已知空間四邊形 AB C D 中， E ， H 分別是邊 AB ， AD 的中點 F ， G 分別是邊 BC ， CD 上的點，且CFCB＝CGCD＝23( 如 下圖所示 ) ，求證：三條直線 EF ， GH ， AC 交于一點． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 分析 ] 欲證三線共點，可證其中兩條直線有交點，且該交點在第三條直線上． [ 證明 ] ∵AEEB＝AHHD＝ 1 ， ∴ EH 綊12BD ， 而CFCB＝CGCD＝23， ∴FGBD＝23，且 FG ∥ BD ， 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ∴ 四邊形 EF G H 為梯形，從而兩腰 EF ， GH 必相交于一點 P . ∵ P ∈ 直線 EF ， EF 平面 AB C ， ∴ P ∈ 平面 AB C . 同理 P ∈ 平面 AD C . ∴ P 在平面 AB C 和平面 AD C 的交線 AC 上． 故 EF ， GH ， AC 三條直線交于一點． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 點評 ] 平面幾何中證多線共點的思維方法仍然適用，只是在思考中應(yīng)考慮空間圖形的新特點 . 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 例 2] 求證：兩兩相交而不通過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi)． [ 分析 ] 已知 a 、 b 、 c 、 d 四條直線不共點但是兩兩相交，求證： a 、 b 、 c 、 d 共面． a 、 b 、 c 、 d 四條直線或者有三條共點或無三條共點，分兩種情形證： 共面問題 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 1 ) 設(shè)有三條直線共點，不失一般性，可設(shè)此三條直線為 a 、b 、 c ，它們均過 P 點 ( 如下圖甲 ) ，此時 d 必不過點 P ( 因四線不共點 ) 因此過 d 和點 P 可以確定平面 α ，再設(shè)法證明其他三條直線 a 、 b 、 c 均在 α 內(nèi)即可． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 2 ) 設(shè)沒有三條直線共點 ( 如 上 圖乙 ) ∵ a ∩ b ＝ Q ∴ a 與 b 可確定一個平面 β 再設(shè)法證明其余二線 c 、 d 均在 β 內(nèi)即可． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 證明 ] ( 1 ) 若 a 、 b 、 c 三線共點 P ，但點 P ? 直線 d . ∴ 直線 d 和其外一點 P 可以確定一個平面 α 又 a ∩ d ＝ C ， ∴ C ∈ α 且點 P ∈ α ∴ 直線 a 平面 α ， 同理可證 ：直線 b 上有兩點 B 、 P 在平面 α 上， ∴ b 平面 α ， ∴ c 平面 α ， ∴ a 、 b 、 c 、 d 四線共面． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 2 ) 若 a 、 b 、 c 、 d 兩兩相交但不過同一點． ∵ a ∩ b ＝ Q ， ∴ a 與 b 可以確定一個平面 β 又 ∵ c ∩ b ＝ E ， E ∈ b 平面 β ， ∴ E ∈ β 同理 c ∩ a ＝ F ， F ∈ a 平面 β ， ∴ F ∈ β ∴ 直線 c 上有兩點 E 、 F 在 β 上 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ∴ c 平面 β 同理可證 d 平面 β 故 a 、 b 、 c 、 d 四線共面 β . 得 ( 1 ) 、 ( 2 ) 可知：兩兩相交而不通過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi)． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 點評 ] 利用基本性質(zhì) 2 及其三個推論，可以用來證明點，線共面．證明此類問題，常用 的方法有： ( 1 ) 納入法：先利用基本性質(zhì) 2 及其三個推論證明某些點和直線在一個確定的平面內(nèi)，再證明其余的點和直線也在這個確定的平面內(nèi)． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 2 ) 同一法：先利用基本性質(zhì) 2 及其三個推論證明某些點和直線在一個確定的平面內(nèi)，另一些點和直線在另外一個確定的平面內(nèi)， ? ，最后再證明這些平面重合． ( 3 ) 反證法：可以假設(shè)這些點和直線不在一個平面內(nèi)，然后通過推理，找出矛盾，從而否定假設(shè)、肯定結(jié)論． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師
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