8-2空間圖形的基本關(guān)系與公理(編輯修改稿)
2024-08-31 08:52 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 分析 ] 要證明 P ， Q ， R 三點(diǎn)共線(xiàn)，只需證明 P ， Q ， R三點(diǎn)在平面 α 和平面 ABC 的交線(xiàn)上，可先用任意兩點(diǎn)確定交線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)，再證明第三點(diǎn)在該直線(xiàn)上，本題體現(xiàn)了空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的思想和方法． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 證明 ] 由已知 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)交平面 α 于點(diǎn) P ，根據(jù)公理 3 ，三角形 AB C 所在的平面與平面 α 必相交于一條直線(xiàn)，設(shè)為 l . ∵ P ∈ 直線(xiàn) AB ， P ∈ 平面 AB C . 又直線(xiàn) AB ∩ 平面 α ＝ P ， ∴ P ∈ 平面 α . ∴ P 是平面 AB C 與平面 α 的公共點(diǎn)． ∵ 平面 ABC ∩ 平面 α ＝ l， ∴ P ∈ l .同理， Q ∈ l ， R ∈ l . ∴ 點(diǎn) P ， Q ， R 在同一條直線(xiàn) l 上． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 點(diǎn)評(píng) ] 易忽視先找出平面 AB C 與平面 α 的交線(xiàn)，從而縮小目標(biāo)范圍． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 已知空間四邊形 AB C D 中， E ， H 分別是邊 AB ， AD 的中點(diǎn) F ， G 分別是邊 BC ， CD 上的點(diǎn)，且CFCB＝CGCD＝23( 如 下圖所示 ) ，求證：三條直線(xiàn) EF ， GH ， AC 交于一點(diǎn)． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 分析 ] 欲證三線(xiàn)共點(diǎn)，可證其中兩條直線(xiàn)有交點(diǎn)，且該交點(diǎn)在第三條直線(xiàn)上． [ 證明 ] ∵AEEB＝AHHD＝ 1 ， ∴ EH 綊12BD ， 而CFCB＝CGCD＝23， ∴FGBD＝23，且 FG ∥ BD ， 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ∴ 四邊形 EF G H 為梯形，從而兩腰 EF ， GH 必相交于一點(diǎn) P . ∵ P ∈ 直線(xiàn) EF ， EF 平面 AB C ， ∴ P ∈ 平面 AB C . 同理 P ∈ 平面 AD C . ∴ P 在平面 AB C 和平面 AD C 的交線(xiàn) AC 上． 故 EF ， GH ， AC 三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 點(diǎn)評(píng) ] 平面幾何中證多線(xiàn)共點(diǎn)的思維方法仍然適用，只是在思考中應(yīng)考慮空間圖形的新特點(diǎn) . 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 例 2] 求證：兩兩相交而不通過(guò)同一點(diǎn)的四條直線(xiàn)必在同一平面內(nèi)． [ 分析 ] 已知 a 、 b 、 c 、 d 四條直線(xiàn)不共點(diǎn)但是兩兩相交，求證： a 、 b 、 c 、 d 共面． a 、 b 、 c 、 d 四條直線(xiàn)或者有三條共點(diǎn)或無(wú)三條共點(diǎn)，分兩種情形證： 共面問(wèn)題 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 1 ) 設(shè)有三條直線(xiàn)共點(diǎn)，不失一般性，可設(shè)此三條直線(xiàn)為 a 、b 、 c ，它們均過(guò) P 點(diǎn) ( 如下圖甲 ) ，此時(shí) d 必不過(guò)點(diǎn) P ( 因四線(xiàn)不共點(diǎn) ) 因此過(guò) d 和點(diǎn) P 可以確定平面 α ，再設(shè)法證明其他三條直線(xiàn) a 、 b 、 c 均在 α 內(nèi)即可． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 2 ) 設(shè)沒(méi)有三條直線(xiàn)共點(diǎn) ( 如 上 圖乙 ) ∵ a ∩ b ＝ Q ∴ a 與 b 可確定一個(gè)平面 β 再設(shè)法證明其余二線(xiàn) c 、 d 均在 β 內(nèi)即可． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 證明 ] ( 1 ) 若 a 、 b 、 c 三線(xiàn)共點(diǎn) P ，但點(diǎn) P ? 直線(xiàn) d . ∴ 直線(xiàn) d 和其外一點(diǎn) P 可以確定一個(gè)平面 α 又 a ∩ d ＝ C ， ∴ C ∈ α 且點(diǎn) P ∈ α ∴ 直線(xiàn) a 平面 α ， 同理可證 ：直線(xiàn) b 上有兩點(diǎn) B 、 P 在平面 α 上， ∴ b 平面 α ， ∴ c 平面 α ， ∴ a 、 b 、 c 、 d 四線(xiàn)共面． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 2 ) 若 a 、 b 、 c 、 d 兩兩相交但不過(guò)同一點(diǎn)． ∵ a ∩ b ＝ Q ， ∴ a 與 b 可以確定一個(gè)平面 β 又 ∵ c ∩ b ＝ E ， E ∈ b 平面 β ， ∴ E ∈ β 同理 c ∩ a ＝ F ， F ∈ a 平面 β ， ∴ F ∈ β ∴ 直線(xiàn) c 上有兩點(diǎn) E 、 F 在 β 上 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ∴ c 平面 β 同理可證 d 平面 β 故 a 、 b 、 c 、 d 四線(xiàn)共面 β . 得 ( 1 ) 、 ( 2 ) 可知：兩兩相交而不通過(guò)同一點(diǎn)的四條直線(xiàn)必在同一平面內(nèi)． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 [ 點(diǎn)評(píng) ] 利用基本性質(zhì) 2 及其三個(gè)推論，可以用來(lái)證明點(diǎn)，線(xiàn)共面．證明此類(lèi)問(wèn)題，常用 的方法有： ( 1 ) 納入法：先利用基本性質(zhì) 2 及其三個(gè)推論證明某些點(diǎn)和直線(xiàn)在一個(gè)確定的平面內(nèi)，再證明其余的點(diǎn)和直線(xiàn)也在這個(gè)確定的平面內(nèi)． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 ( 2 ) 同一法：先利用基本性質(zhì) 2 及其三個(gè)推論證明某些點(diǎn)和直線(xiàn)在一個(gè)確定的平面內(nèi)，另一些點(diǎn)和直線(xiàn)在另外一個(gè)確定的平面內(nèi)， ? ，最后再證明這些平面重合． ( 3 ) 反證法：可以假設(shè)這些點(diǎn)和直線(xiàn)不在一個(gè)平面內(nèi)，然后通過(guò)推理，找出矛盾，從而否定假設(shè)、肯定結(jié)論． 第 8章 第二節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師
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