【文章內(nèi)容簡介】 二、 撓曲線的近似微分方程 前面在導(dǎo)出純彎曲正應(yīng)力公式時，曾得到用中性層曲率表示的彎曲變形公式為 1zMEI? ?橫力彎曲中，如果忽略剪力的影響，則梁軸線的曲率為 1 ( )() zMxx EI? ?由微積分的基本知識，撓曲線與曲率滿足以下關(guān)系 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 2232 2d1 d()d1dwxxwx??????????????????則： 2232 2d()dd1dzwMxxEIwx?????????????????1 ( )() zMxx EI? ? 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 正負(fù)號確定 —— 確定坐標(biāo)系 : 0???w (從數(shù)學(xué) ) 0M? (本書規(guī)定 ) 0???w M ?0w 向上為正 x wx 小變形時 ： 12 ???w 22d ( )d Zw M xx E I??? pmax ?? ? ? 小變形 應(yīng)用條件： 2232 2d()dd1dzwMxxEIwx???????????????22d ( )d zw M xx E I? 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 三、 用積分法求梁的位移 ? ?ZMxw d x C x DEI? ? ???? ?ZMxwEI?? ?? ?ZMxdw d x Cd x E I? ? ? ??F C、 D為積分常數(shù)，它由位移邊界與連續(xù)條件確定。 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 FBAwA= 0θA= 0ABFCwA= 0wB= 0wC 1= wC 2θC 1= θC 2 固定端的撓度和轉(zhuǎn)角均為零，鉸支座處的撓度為零。 $ 撓曲軸在 C點連續(xù)且光滑 邊界條件：梁截面的已知位移條件 連續(xù)條件：分段處撓曲軸應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條件 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 A B CDFxy 3a23aa a2F43aM xFa2FaA 2F FCB39。D凹 曲 線拐 點凸 曲 線39。C( a )( b )( c )D例 96 如圖所示圖形為一外伸梁，承受集中載荷作用，試?yán)L制撓曲線的大致形狀圖。設(shè)彎曲剛度 EIZ為常數(shù)。 F 根據(jù)彎矩圖定凹凸性， F 彎矩圖過零點處為拐點 , F 支座限定支座處的位移。 Q 撓曲線大致形狀的畫法 ? ?1zMxwEI? ???? 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 y xA lx BB? BwF例 如圖 ，在自由端受一集中力 F的作用， EIZ為常數(shù)。試求梁的自由端的撓度 ωB和轉(zhuǎn)角 θB 。 解：彎矩方程 : 撓曲線的近似微分方程 : 進(jìn)行一次積分得： 再進(jìn)行第二次積分得： ? ? ? ?M x F l x? ? ?? ?1zw F l F xEI?? ? ? ?212zFxw F lx CEI??? ? ? ? ?????23126zF lx F xw C x DEI??? ? ? ? ????? 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 邊界條件為 0 , 0,0xwx l w????將邊界條件帶入相應(yīng)的表達(dá)式可得兩個積分常數(shù) 將積分常數(shù)代入轉(zhuǎn)角和撓度的表達(dá)式可得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程 0CD??212zFxw F lxEI????? ? ? ?????23126zF lx F xwEI??? ? ?????y xA lx BB? BwF 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 根據(jù)梁的受力及邊界條件，畫出梁的撓曲線示意圖 ,將x=l 代入撓度和轉(zhuǎn)角方程中得 22B zFlEI? ??33B zFlwEI??（順時針） （向下） y xA lx BB? BwF 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 例 98 如圖 ， EIZ 為常數(shù)，求自由端的撓度 ωB和轉(zhuǎn)角 θB 。 E y xA lqx B BwB?解：梁的彎矩方程： ? ? 221122M x q l q lx q x? ? ? ?221 1 122zw q l q lx q xEI???? ? ? ? ????? 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 221 1 122zw q l q lx q xEI???? ? ? ? ?????進(jìn)行一次積分得： 2 2 31 1 1 12 2 6zw q l x q l x q x CEI????? ? ? ? ? ?????再進(jìn)行第二次積分得 : 2 2 3 41 1 1 14 6 2 4zw q l x q l x q x C x DEI??? ? ? ? ? ????? 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 考慮邊界條件，對于懸臂梁來說，固定端的撓度和轉(zhuǎn)角都為零，即 0 , 0xw? ?? ? ?0 , 0xw?? 將上述兩個邊界條件代入撓度和轉(zhuǎn)角的表達(dá)式， 0CD??2 2 31 1 1 12 2 6zw q l x q l x q x CEI????? ? ? ? ? ?????2 2 3 41 1 1 14 6 2 4zw q l x q l x q x C x DEI??? ? ? ? ? ?????可得出積分常數(shù)為 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 將 C、 D代入撓度和轉(zhuǎn)角的表達(dá)式可得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程 2 2 31 1 1 12 2 6zw q l x q l x q xEI????? ? ? ? ?????2 2 3 41 1 1 14 6 2 4zw q l x q lx q xEI??? ? ? ????? 最后，把 x=l 分別代入轉(zhuǎn)角和撓曲線方程，就可得到梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度： 36B xl zqlwEI? ??? ? ?48B xl zqlwwEI?? ? ? 根據(jù)撓度和轉(zhuǎn)角的符號規(guī)定，上述結(jié)果表明轉(zhuǎn)角為順時針，撓度方向為向下。 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 例 如圖 ，其上受均布載荷 q ， EIZ 為常數(shù)。試求此梁的最大撓度 ωmax以及截面 A的轉(zhuǎn)角 θA。 y xA lqx BAyF ByFm a xwA?解：彎矩方程 : ? ?21122M x q lx q x??撓曲線的近似微分方程 : 21 1 122zw q lx q xEI???? ??????進(jìn)行一次積分得： 231 1 146zw q lx q x CEI??? ? ? ?????再進(jìn)行第二次積分得： 341 1 11 2 2 4zw q lx q x C x DEI??? ? ? ????? 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 邊界條件為 0 , 0,0xwx l w????將邊界條件帶入相應(yīng)的表達(dá)式可得兩個積分常數(shù) 3 ,024qlCD? ? ? 將積分常數(shù)代入轉(zhuǎn)角和撓度的表達(dá)式可得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程 3231 1 14 6 2 4zqlw q lx q xEI????? ? ? ?????3341 1 11 2 2 4 2 4zqlw q lx q x xEI??? ? ????? 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 最大撓度發(fā)生在梁跨中點（轉(zhuǎn)角為零），最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在梁的兩個端截面上（彎矩為零）。將 代入撓度方程中得 2lx?4m a x 25384xl zqlwwEI?? ? ? 負(fù)號表示的方向向下，與坐標(biāo)軸的正方向相反。將代入轉(zhuǎn)角方程中可得 30 24AxzqlEI?? ?? ? ?負(fù)號表示為順時針轉(zhuǎn)動。 河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院 工程 力學(xué) 第九章 桿類構(gòu)件的變形 m a xwy xAl1x BAyF ByFFa b2xC/2l 2 /3lD 例 如圖 ，受一集中載荷 F作用， EIZ 為常數(shù)。試求此梁的最大撓度 ωmax以及最大轉(zhuǎn)角 θmax 。 ? ?11FbM x xl?? ? ? ?2 2 2FbM x x F x al? ? ?? ?10 xa??