天津大學理論力學18拉格朗日方程與哈密頓原理(編輯修改稿)
2025-08-28 15:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ???????????????????glmxlmlmxlmlmlmxmm???????????得系統(tǒng)運動微分方程 略去所有二階以上的小量，即得線性化方程 00)( 221?????????glxlmxmm????????xA?lB 例 題 Theoretical Mechanics 第二類拉格朗日方程 例 楔形體重 P，傾角 ?，在光滑水平面上。圓柱體重 Q，半徑為 r ，只滾不滑。初始系統(tǒng)靜止，圓柱體在斜面最高點。試求： (1)系統(tǒng)的運動微分方程； (2)楔形體的加速度。 解：研究整體系統(tǒng)。具有兩個自由度。取廣義坐標為 x, s ；各坐標原點均在初始位置。 例 題 Theoretical Mechanics 第二類拉格朗日方程 系統(tǒng)的動能： )( c os 4321 )(2121)c os2(21212222222asxgQsgQxgQPrsrgQsxsxgQxgPT???????????????????????系統(tǒng)的勢能： 取水平面為重力勢能零點。 31)c o ss i n( ?? rshQPhU????? 例 題 Theoretical Mechanics 第二類拉格朗日方程 代入保守系統(tǒng)拉氏方程 ???s i n2c o s23 0c o s)(gxssQxQP??????????????拉格朗日函數(shù)： s i n31 4321 22 )c osc os ??? rsQ ( hPhsxgQsgQxgQPUTL???????????????并適當化簡，得到系統(tǒng)的運動微分方程。 )1, 2 ,( 0 kjqLqLdtdjj,)( ?? ??????? 例 題 Theoretical Mechanics 第二類拉格朗日方程 解得楔形體的加速度為 gPQx ??????2s i n232s i n?? 拉格朗日函數(shù) L中不顯含 t ，故系統(tǒng)存在能量積分。 例 題 Theoretical Mechanics 第二類拉格朗日方程 圖 擺振系統(tǒng) 例 圖示系統(tǒng) ， 擺的支點在水平方向受到彈性約束 ， 其總剛度為 k， 擺的質(zhì)量為 m， 擺長為 l。 試用拉格朗日方程求出系統(tǒng)的運動方程 。 22 ])s i n[(21])c o s([21 ???? ??? lmlxmT ???)c o s1(21 2 ???? mg lkxV解： （ 1）選擇 x及 ? 為廣義坐標。 （ 2）動能及勢能 動能： 勢能： （ 3）廣義外力為零 Mechanical and Structural Vibration 例 題 第二類拉格朗日方程 0s i ns i nc o s0s i nc o s222?????????????????mgxmlmlxmlkxmlmlxm???????????這就是擺的運動方程 。 當微幅振動時 ， 取 cos? ≈1， sin? = 0， 并可略去高階項 ， 則可簡化為 00?????????mgmlxmkxmlxm????????kxmg ??0???????? ? ?? glkmg ??兩式相減得到 得到運動方程 圖 擺振系統(tǒng)
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