高等代數(shù)選講第一章第4節(jié)-1674最大公因式(編輯修改稿)
2024-08-28 14:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1 093x??1081?1 0 1 093x??3 () 0rx ?2 ()rx?最大公因式 3 ()qx?( ( ) , ( ) ) 3f x g x x??所 以 實(shí)際計(jì)算過程： 11( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x??2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g x q x r x r x??1 3 2( ) ( ) ( )r x q x r x?首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )r x g x q x r x??所 以2 7 1 19 2 7 ( ) ( 9 ) [ ( ) ( ) ( ) ]5 3 9x g x x f x x g x? ? ? ? ? ? ?故 21( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]g x q x f x q x g x? ? ?22 7 9 1 8( 9 ) ( ) ( ) ( )5 5 5x f x x x g x? ? ? ? ?23 1 2( ) 1 , ( ) .5 5 5 u x x v x x x? ? ? ? ?取 即 為 所 求首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12 幾點(diǎn)注記 : 1) 適合定理?xiàng)l件的 u(x), v(x)不是唯一的 . 2) 對(duì)任意的 u(x), v(x), 由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x u x f x v x g x?? ( ) ( ) , ( ) .d x f x g x? 是 的 最 大 公 因 式?( ( ) , ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,f x g x u x f x v x g x??事 實(shí) 上 ， 設(shè)( ) [ ] ,( ( ) , ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h x P xf x g x u x f x v x g xh x f x g x h x f x g x?????任 取 則[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( )u x h x g x f x v x h x f x g x? ? ? ?首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13 3). 兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 的 最 大 公 因 式 不 因 系 數(shù) 域 的 擴(kuò) 大而 改 變( ) , ( )():. P P P P f xgx?從 數(shù) 域 過 渡 到 數(shù) 域 多 項(xiàng) 式 與可 能 獲 得 與 舊 有 的 本 質(zhì) 上 不 同 的 公 因 式注3232( ) 3 2 6 ,( ) 2 2 ,. f x x x xg x x x xQR? ? ? ?? ? ? ?既 可 以 看 成 是 有 理 數(shù) 域 上 的 多 項(xiàng) 式 又 可 以 看 成 是實(shí) 數(shù) 域 上 的 如多 項(xiàng) 式例22(( ) ( 3 ) ,( ) ( 1 ) ,2)( 2 ) xfxxxg x x??????因 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14 ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ,( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) , f x x x xg x x x x? ? ? ?? ? ? ?然 而 在 實(shí) 數(shù) 域 上( ) ( ) ,f x g x這 說 明 在 有 理 數(shù) 域 上 與 沒 有 一 次 公 因 式2 2 ( ) ( ).x x f x g x??但 在 實(shí) 數(shù) 域 上 與 都 是 與 的 一 次 公因 式2 2 ( ) ( ) (). x f x g x?所 以 是 與 的 最 大 公 因 式 不 論 在 哪 個(gè) 數(shù)域 上首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 15 二、互素 定義 7 如果 ( f (x), g(x))=1, 則稱 f (x)與 g(x)互素 . 顯然 , f (x)與 g(x)互素 它們除零次因式外不再有其它公因式 . ?幾個(gè)簡單事實(shí) : (1) 若 f (x)與 g(x)互素 , 則 f (x)與 g(x)不全為零多項(xiàng)式 . (2) 零多項(xiàng)式與零次多項(xiàng)式互素 , 且只與零次多項(xiàng)式互素 . (3)
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